Example Question - average value theorem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Average Value of a Function within an Interval
对于题目中的情况，我们要找的是给定区间 [0,2] 内函数 g(x) 的平均值。根据平均值定理，函数在区间 [a,b] 上的平均值等于该区间上函数曲线与 x 轴围成的面积除以区间的长度。 根据题目，函数 g(x) 的图形和 x 轴在 x = 0 到 x = 2 之间围成的面积为 3。由于这个面积实际上表示了这个区间上 g(x) 的积分，我们可以将面积表示为积分形式： 面积 = ∫(从 a 到 b) g(x) dx 将给定的信息代入，我们得到 3 = ∫(从 0 到 2) g(x) dx 为了找到平均值，我们需要将这个积分除以区间的长度，区间 [0,2] 的长度是 2。 平均值 = 面积 / 区间长度 平均值 = 3 / 2 因此，函数 g(x) 在 [0,2] 区间内的平均值是 3/2。所以在所提供的选项中，(B) 3/2 是正确的答案。
Average Value Theorem for Integration
为了回答这个问题，我们可以使用积分的平均值定理。这个定理告诉我们，一个连续函数在某个区间的平均值等于它在这个区间上的定积分除以区间的长度。 问题中给出的区间是 [0, 2]，区间长度为 2 - 0 = 2。同时，我们知道函数 g(x) 在区间 [0, x] 上的定积分的值为 3，表示函数 g(x) 和 x 轴之间这段曲线下包围的面积是 3。 积分的平均值 = (函数在区间上的定积分)/(区间的长度) 此处的定积分是给定的面积，即 3，区间长度是 2。所以平均值 g_avg 为： g_avg = 3 / 2 所以平均值 g_avg = 1.5，对应的选项是 (B) \( \frac{3}{2} \)。
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