Example Question - area under curve
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Area under a Curve Using Trapezoidal Approximation
<p>Para aproximar el área bajo la curva utilizando el método trapezoidal, primero se calcula el área de cada trapecio formado entre puntos sucesivos en la tabla. La fórmula para el área de un solo trapecio es \(\frac{1}{2}(b_1 + b_2)h\), donde \(b_1\) y \(b_2\) son las longitudes de las bases del trapecio y \(h\) es la altura (o el intervalo entre los valores de \(x\)).</p> <p>Considerando la tabla proporcionada y asumiendo que los valores de \(x\) están igualmente espaciados, el intervalo \(h\) entre cada \(x\) es 1. El área bajo la curva se aproxima por la suma de las áreas de los trapecios individuales:</p> <p>\(A = \frac{1}{2}[(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_3 + y_4) + (y_4 + y_5)] \cdot h\)</p> <p>Reemplazando los valores de la tabla obtenemos:</p> <p>\(A = \frac{1}{2}[(1 + 8) + (8 + 27) + (27 + 64) + (64 + 125)] \cdot 1\)</p> <p>\(A = \frac{1}{2}[9 + 35 + 91 + 189]\)</p> <p>\(A = \frac{1}{2}[324]\)</p> <p>\(A = 162\)</p> <p>Por lo tanto, el área aproximada bajo la curva por el método trapezoidal es 162 unidades cuadradas.</p>
Incorrect Integration Solution Provided
Para resolver la integral dada, utilizamos la regla de la potencia para integrales. La integral de x con respecto a x es \(\frac{x^2}{2}\), entonces: \[\int_0^a xdx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a\] Esto significa que evaluamos la función \(\frac{x^2}{2}\) en a y restamos el valor de la misma función evaluada en 0. Primero, evaluamos en a: \[ \left[\frac{a^2}{2}\right] - \left[\frac{0^2}{2}\right] = \frac{a^2}{2} - 0 = \frac{a^2}{2} \] Entonces, la solución correcta de la integral es: \[ \frac{a^2}{2} \] Mirando las opciones dadas en la pregunta, la respuesta es la opción c) \( -\frac{a^2}{2} \). Parece haber un error aquí; la evaluación de la integral es positiva dado que es el área bajo la curva de x desde 0 hasta a, por lo tanto, la respuesta correcta debería ser \(\frac{a^2}{2}\), pero esta opción no está listada correctamente. La opción que más se aproxima es la opción d) \(\frac{a^2}{3}\), pero esta tampoco es la respuesta correcta. Debería haber una opción que sea \(\frac{a^2}{2}\) para ser la solución correcta de la integral proporcionada.
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