Example Question - area between functions
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Integral Calculation for Shaded Area Between Linear Functions
La imagen muestra un gráfico con dos funciones lineales y un área sombreada entre ellas. Para encontrar el área del sector sombreado, necesitas integrar la diferencia de las dos funciones en el intervalo donde se superponen. Las funciones parecen ser f(x) = x y la otra es una recta positiva, posiblemente g(x) = kx, donde k es la pendiente. Sin valores específicos para los límites del área sombreada o la pendiente k, no puedo proporcionar una respuesta numérica exacta. Sin embargo, puedo explicarte cómo establecer la integral. Para el área sombreada, necesitas establecer A = ∫(g(x) - f(x)) dx La integral se calcula desde el punto de intersección de las dos rectas hasta el valor de x donde deseas detener el área. El punto de intersección de las rectas se da cuando f(x) = g(x), o sea, x = kx, lo cual sucede solo si x = 0 (asumiendo que k no es 1). Por lo tanto, el límite inferior de la integral es 0. Suponiendo que el límite superior es h, la integral es A = ∫[0,h](kx - x) dx A = ∫[0,h](x(k - 1)) dx Integrando x en el intervalo de 0 a h obtenemos A = [(k - 1)/2] x^2 | desde 0 hasta h A = [(k - 1)/2] h^2 Para darte una respuesta precisa, necesitaría los valores exactos de k (la pendiente de la segunda recta) y h (el límite superior del área sombreada).
Calculating Area Between Linear Functions
La imagen muestra el gráfico de una función lineal \( f(x) = x \) y posiblemente otra función afín o lineal decreciente que no está claramente etiquetada. Hay un área sombreada que parece representar el área entre las dos funciones. Para encontrar el área de la región sombreada, necesitamos las ecuaciones de ambas rectas y los límites de integración (los valores de \( x \) donde las rectas se cruzan). Suponiendo que la otra recta es una función de la forma \( g(x) = ax + b \) y que se cruza con la recta \( f(x) = x \) en dos puntos que definen los límites de la región sombreada, la diferencia entre estas dos funciones nos dará la altura de la región en un punto \( x \) dado dentro de los límites. El área \( A \) entre las dos funciones en el intervalo \([x_1, x_2]\), donde \(x_1\) y \(x_2\) son los puntos de intersección, se calcularía como sigue: \[ A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx \] Para poder proceder con el cálculo, necesitaríamos conocer la ecuación exacta de la segunda recta y los puntos específicos de intersección. Si tienes más información sobre la ecuación de la otra recta o los puntos de intersección, por favor, proporciónala para que pueda ayudarte con un cálculo más específico.
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