Example Question - absolute value
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving an Equation Involving Absolute Values and Trigonometric Functions
<p>Для решения уравнения, содержащего модули, необходимо рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака выражений внутри модулей.</p> <p>\textbf{Случай 1:} $x \geq -4$ и $x \geq -1$</p> <p>Уравнение примет вид:</p> <p>$x + 4 + x + 1 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$2x + 5 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>Дальнейшее аналитическое решение уравнения затруднительно из-за комбинации косинуса и линейных членов. Необходимо использовать численные методы или графический подход для нахождения корней.</p> <p>\textbf{Случай 2:} $x < -4$ и $x \geq -1$</p> <p>Уравнение примет вид:</p> <p>$-(x + 4) + x + 1 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$-3 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$3 \cos(\pi x) = 3$</p> <p>$\cos(\pi x) = 1$</p> <p>Это возможно, если $\pi x = 2k\pi$, где $k$ - целое число.</p> <p>$x = 2k$, где $x < -4$, что несовместимо с этим условием, следовательно, решений нет.</p> <p>\textbf{Случай 3:} $x \geq -4$ и $x < -1$</p> <p>Уравнение примет вид:</p> <p>$x + 4 - (x + 1) + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$3 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>Аналогично случаю 2, получаем $x = 2k$, что не удовлетворяет условию $x < -1$. Следовательно, решений нет.</p> <p>\textbf{Случай 4:} $x < -4$ и $x < -1$</p> <p>Уравнение примет вид:</p> <p>$-(x + 4) - (x + 1) + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$-2x - 5 + 3 \cos(\pi x) = 0$</p> <p>$-2x + 3 \cos(\pi x) = 5$</p> <p>И опять, аналитическое решение затруднительно, и потребуются численные методы или графический подход.</p> <p>Итак, общее решение уравнения будет включать численный поиск корней для случаев 1 и 4, так как аналитическое решение невозможно из-за комбинации алгебраических и тригонометрических функций.</p>
Operations on Complex Number Sets
El conjunto C está definido como el conjunto de todos los números complejos z tales que el valor absoluto de z es mayor o igual a 1. Matemáticamente se expresa como C = {z | |z| ≥ 1}. El conjunto D está definido como el conjunto de todos los números complejos z tales que el valor absoluto de z es menor que 5. Matemáticamente se expresa como D = {z | |z| < 5}. Si se te pide resolver una operación entre estos dos conjuntos, sería necesario especificar cuál es la operación. Por ejemplo, la intersección de C y D contendría todos los números complejos cuyo módulo es al menos 1 pero menos de 5, es decir, seria el conjunto de números complejos que cumplan las dos condiciones simultáneamente. Esta intersección sería matemáticamente descrita como {z | 1 ≤ |z| < 5}. Si, por otro lado, se te pide la unión de C y D, se referiría a todos los números complejos que satisfacen al menos una de las dos condiciones. En este caso, dado que cualquier número complejo con un valor absoluto menor que 5 también tendrá un valor absoluto mayor o igual a 1, la unión sería simplemente todos los números complejos, ya que no hay número complejo con valor absoluto menor a 1 que no esté contenido en D. Para darte una respuesta más específica, necesitaría saber exactamente qué estás buscando respecto a estos conjuntos.
Solving Inequalities with Absolute Value
To solve the inequality \( |t - 75| \leq 15 \), we need to split it into two separate inequalities, because the absolute value of a number is the distance from zero on the number line, and it can be expressed as the value being either greater than or equal to 0 or less than or equal to 0. The two cases for \( |t - 75| \leq 15 \) are: 1. \( t - 75 \leq 15 \) 2. \( -(t - 75) \leq 15 \) or equivalently \( t - 75 \geq -15 \) For the first case (1): \( t - 75 \leq 15 \) Adding 75 to both sides of the inequality gives us: \( t \leq 90 \) For the second case (2): \( t - 75 \geq -15 \) Adding 75 to both sides of this inequality gives us: \( t \geq 60 \) So, the solution to \( |t - 75| \leq 15 \) is the set of values of \( t \) that satisfy both conditions: \( 60 \leq t \leq 90 \) This means that the value of \( t \) is between 60 and 90, inclusive.
Solving Inequalities with Absolute Value
The inequality given in the image is |u + 6| ≥ 46. To solve for u, we need to consider the two scenarios that arise from the absolute value: 1. When u + 6 is non-negative: u + 6 ≥ 46 Subtract 6 from both sides to isolate u: u ≥ 46 - 6 u ≥ 40 2. When u + 6 is negative: -(u + 6) ≥ 46 Multiply both sides by -1, remembering to reverse the inequality sign: u + 6 ≤ -46 Subtract 6 from both sides to isolate u: u ≤ -46 - 6 u ≤ -52 Combining both scenarios, we have a solution that u is in the interval: u ≤ -52 or u ≥ 40 This means any u that is less than or equal to -52 or greater than or equal to 40 satisfies the original inequality |u + 6| ≥ 46.
Vector Operations and Magnitudes
Természetesen, segítek megoldani a feladatot. Az \( a \) és \( b \) vektorokat már megadták nekünk: \[ a = 5i - 12j \] \[ b = 4i - 3j \] **a) rész:** Az \( a + b \) vektor koordinátái: \[ a + b = (5i - 12j) + (4i - 3j) \] \[ a + b = (5 + 4)i + (-12 - 3)j \] \[ a + b = 9i - 15j \] A \( 3a + 2b \) vektor koordinátái: \[ 3a + 2b = 3(5i - 12j) + 2(4i - 3j) \] \[ 3a + 2b = (3 \cdot 5)i + (3 \cdot -12)j + (2 \cdot 4)i + (2 \cdot -3)j \] \[ 3a + 2b = 15i - 36j + 8i - 6j \] \[ 3a + 2b = (15 + 8)i + (-36 - 6)j \] \[ 3a + 2b = 23i - 42j \] **b) rész:** A vektorok hosszát vagy abszolút értéket a következő képlettel számoljuk: \[ |v| = \sqrt{x^2 + y^2} \] ahol \( v = xi + yj \). \( |a| \) értéke: \[ |a| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \] \[ |a| = \sqrt{25 + 144} \] \[ |a| = \sqrt{169} \] \[ |a| = 13 \] \( |b| \) értéke: \[ |b| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ |b| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |b| = \sqrt{25} \] \[ |b| = 5 \] Végül a \( |a + b| \) értéke: \[ |a + b| = \sqrt{(9)^2 + (-15)^2} \] \[ |a + b| = \sqrt{81 + 225} \] \[ |a + b| = \sqrt{306} \] \[ |a + b| = \sqrt{9 \cdot 34} \] \[ |a + b| = 3\sqrt{34} \] (közelítőleg \( |a + b| \) értéke kerekítve lesz ami a gyök 34-nek felel meg, mivel a gyök alatti szám nem négyzetszám) Ez adja a részfeladatok megoldását.
Solution for Two Equations
Câu hỏi trên hình ảnh có hai phần. Tôi sẽ giải từng câu một theo đề bài. 1. Giải phương trình: \(2|2-x| + 0,5 = \frac{11}{2}\) Đầu tiên ta cần đưa phương trình về dạng đơn giản hơn bằng cách chuyển 0,5 sang vế phải và đồng thời chia hai vế cho 2. \( |2-x| = \frac{\frac{11}{2} - 0,5}{2} \) \( |2-x| = \frac{\frac{10}{2}}{2} \) \( |2-x| = \frac{5}{2} \) Do đây là giá trị tuyệt đối, ta sẽ có hai trường hợp: Trường hợp 1: \( 2 - x = \frac{5}{2} \) \( x = 2 - \frac{5}{2} \) \( x = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} \) \( x = -\frac{1}{2} \) Trường hợp 2: \( 2 - x = -\frac{5}{2} \) \( x = 2 + \frac{5}{2} \) \( x = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} \) \( x = \frac{9}{2} \) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -\frac{1}{2} \) hoặc \( x = \frac{9}{2} \). 2. Tìm x và y, biết: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{5} \) và \( x - y = 12 \) Chúng ta có hệ phương trình sau: \[ \left\{ \begin{array}{ c l } \frac{x}{2} & = \frac{y}{5} \\ x - y & = 12 \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên, ta nhân chéo để tìm mối quan hệ giữa x và y: \( 5x = 2y \) \( y = \frac{5}{2}x \) Thay \( y = \frac{5}{2}x \) vào phương trình thứ hai: \( x - \frac{5}{2}x = 12 \) \( \frac{2}{2}x - \frac{5}{2}x = 12 \) \( -\frac{3}{2}x = 12 \) \( x = \frac{12}{-\frac{3}{2}} \) Khi đó: \( x = \frac{12 \cdot -2}{3} \) \( x = -8 \) Ta lại thay giá trị của x vào \( y = \frac{5}{2}x \) để tìm y: \( y = \frac{5}{2}(-8) \) \( y = -20 \) Vậy \( x = -8 \) và \( y = -20 \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com