Question - Trigonometric Functions Calculation
Solution:
写真に写っている問題を解くために、次のように進めます。与えられた方程式は次の通りです。\[ \sin \alpha = \frac{1}{3}, \quad \cos \beta = -\frac{2}{5} \]求めるべきは次の式の値です。\[ \sin(\alpha - \beta), \quad \cos(\alpha + \beta) \]まず初めに、与えられた条件から、余弦定理や正弦定理を使わずに三角関数の値を求めるために、以下のピタゴラスの定理に基づく基本的な関係を用います。\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]この関係を使うことで、与えられた $$\sin \alpha$$ と $$\cos \beta$$ の値から、残りの三角関数の値を導き出すことが可能です。\[ \sin \alpha = \frac{1}{3} \]\[ \sin^2 \alpha= \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]同様に、\[ \cos \beta = -\frac{2}{5} \]\[ \cos^2 \beta = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \]\[ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \]\[ \sin \beta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \]三角関数の正負については、角 $$\alpha$$ と $$\beta$$ がどの象限にあるかによって決まりますが、この問題にはそのような情報が与えられていません。ですので、正負の両方のケースを検討する必要があります。しかし、通常、この手の問題では、最も一般的な第1象限（すなわち、全ての三角関数の値が正）を仮定します。三角関数の加法定理に基づき、次の式を使用します。\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \]\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]得られた三角関数の値を以上の式に適用します（ここでは正の値を使用します）。まずは $$\sin(\alpha - \beta)$$ から求めます。\[ \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \]\[ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2}{15} - \frac{2\sqrt{42}}{15} = -\frac{2(1 + \sqrt{42})}{15} \]次に $$\cos(\alpha + \beta)$$ を求めます。\[ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) - \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \]\[ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4\sqrt{2}}{15} - \frac{\sqrt{21}}{15} = -\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{21}}{15} \]以上の計算を踏まえて、最終的な結果は以下の通りになります。\[ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2(1 + \sqrt{42})}{15} \]\[ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{21}}{15} \]
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