Example Question - addition formula

Trigonometric Functions Calculation

写真に写っている問題を解くために、次のように進めます。 与えられた方程式は次の通りです。 \[ \sin \alpha = \frac{1}{3}, \quad \cos \beta = -\frac{2}{5} \] 求めるべきは次の式の値です。 \[ \sin(\alpha - \beta), \quad \cos(\alpha + \beta) \] まず初めに、与えられた条件から、余弦定理や正弦定理を使わずに三角関数の値を求めるために、以下のピタゴラスの定理に基づく基本的な関係を用います。 \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] この関係を使うことで、与えられた \(\sin \alpha\) と \(\cos \beta\) の値から、残りの三角関数の値を導き出すことが可能です。 \[ \sin \alpha = \frac{1}{3} \] \[ \sin^2 \alpha= \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 同様に、 \[ \cos \beta = -\frac{2}{5} \] \[ \cos^2 \beta = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \] \[ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ \sin \beta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \] 三角関数の正負については、角 \(\alpha\) と \(\beta\) がどの象限にあるかによって決まりますが、この問題にはそのような情報が与えられていません。ですので、正負の両方のケースを検討する必要があります。しかし、通常、この手の問題では、最も一般的な第1象限（すなわち、全ての三角関数の値が正）を仮定します。 三角関数の加法定理に基づき、次の式を使用します。 \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] 得られた三角関数の値を以上の式に適用します（ここでは正の値を使用します）。 まずは \(\sin(\alpha - \beta)\) から求めます。 \[ \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \] \[ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2}{15} - \frac{2\sqrt{42}}{15} = -\frac{2(1 + \sqrt{42})}{15} \] 次に \(\cos(\alpha + \beta)\) を求めます。 \[ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(-\frac{2}{5}\right) - \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \] \[ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4\sqrt{2}}{15} - \frac{\sqrt{21}}{15} = -\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{21}}{15} \] 以上の計算を踏まえて、最終的な結果は以下の通りになります。 \[ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2(1 + \sqrt{42})}{15} \] \[ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{21}}{15} \]