Question - Solving Limit using Trigonometric Identity and L'Hôpital's Rule
Solution:
Para resolver el límite $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(ax)}{1 - \cos(bx)} $$, podemos aplicar la identidad trigonométrica $$ \cos(\theta) = 1 - 2\sin^2(\frac{\theta}{2}) $$ para transformar tanto el numerador como el denominador. Así, la expresión se convierte en:$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin^2(\frac{ax}{2}))}{1 - (1 - 2\sin^2(\frac{bx}{2}))}$$Simplificando el numerador y el denominador, obtenemos:$$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{ax}{2})}{2\sin^2(\frac{bx}{2})}$$Podemos cancelar el factor 2 en el numerador y en el denominador, lo que nos deja:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{ax}{2})}{\sin^2(\frac{bx}{2})}$$Ahora podemos aplicar el límite usando la regla de L'Hôpital, ya que tenemos una forma indeterminada de tipo 0/0. Pero antes de aplicar la regla de L'Hôpital, vamos a simplificar aún más tomando la raíz cuadrada al numerador y al denominador, recordando que la raíz cuadrada es una función continua y que podemos tomar el límite fuera de ella:$$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{ax}{2})}{\sin(\frac{bx}{2})}\right)^2 = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{ax}{2})}{\sin(\frac{bx}{2})}\right)^2$$Utilizando la regla de L'Hôpital diferenciamos el numerador y el denominador por separado:$$\frac{d}{dx}\sin\left(\frac{ax}{2}\right) = \frac{a}{2}\cos\left(\frac{ax}{2}\right)$$$$\frac{d}{dx}\sin\left(\frac{bx}{2}\right) = \frac{b}{2}\cos\left(\frac{bx}{2}\right)$$Ahora, aplicando la derivada a la expresión original:$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{2}\cos\left(\frac{ax}{2}\right)}{\frac{b}{2}\cos\left(\frac{bx}{2}\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cos\left(\frac{ax}{2}\right)}{b \cos\left(\frac{bx}{2}\right)}$$Dado que $$ \cos(0) = 1 $$, la expresión se simplifica a:$$\frac{a}{b}$$Por lo tanto, el límite original es $$ \left(\frac{a}{b}\right)^2 $$, que corresponde a la opción (c) en tu lista de opciones si hubiera una. (La imagen no muestra ninguna opción después de la letra "b").
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