Example Question - solving limit
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Limit using Trigonometric Identity and L'Hôpital's Rule
Para resolver el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(ax)}{1 - \cos(bx)} \), podemos aplicar la identidad trigonométrica \( \cos(\theta) = 1 - 2\sin^2(\frac{\theta}{2}) \) para transformar tanto el numerador como el denominador. Así, la expresión se convierte en: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin^2(\frac{ax}{2}))}{1 - (1 - 2\sin^2(\frac{bx}{2}))} \] Simplificando el numerador y el denominador, obtenemos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{ax}{2})}{2\sin^2(\frac{bx}{2})} \] Podemos cancelar el factor 2 en el numerador y en el denominador, lo que nos deja: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{ax}{2})}{\sin^2(\frac{bx}{2})} \] Ahora podemos aplicar el límite usando la regla de L'Hôpital, ya que tenemos una forma indeterminada de tipo 0/0. Pero antes de aplicar la regla de L'Hôpital, vamos a simplificar aún más tomando la raíz cuadrada al numerador y al denominador, recordando que la raíz cuadrada es una función continua y que podemos tomar el límite fuera de ella: \[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{ax}{2})}{\sin(\frac{bx}{2})}\right)^2 = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{ax}{2})}{\sin(\frac{bx}{2})}\right)^2 \] Utilizando la regla de L'Hôpital diferenciamos el numerador y el denominador por separado: \[ \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{ax}{2}\right) = \frac{a}{2}\cos\left(\frac{ax}{2}\right) \] \[ \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{bx}{2}\right) = \frac{b}{2}\cos\left(\frac{bx}{2}\right) \] Ahora, aplicando la derivada a la expresión original: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{2}\cos\left(\frac{ax}{2}\right)}{\frac{b}{2}\cos\left(\frac{bx}{2}\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cos\left(\frac{ax}{2}\right)}{b \cos\left(\frac{bx}{2}\right)} \] Dado que \( \cos(0) = 1 \), la expresión se simplifica a: \[ \frac{a}{b} \] Por lo tanto, el límite original es \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \), que corresponde a la opción (c) en tu lista de opciones si hubiera una. (La imagen no muestra ninguna opción después de la letra "b").
Solving Limit Using Sine Addition Formula
The limit provided in the image is: \[ \lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a} \] We can solve this limit by using the Sine Addition Formula in the form of the difference: \[ \sin x - \sin a = 2 \cos\left(\frac{x + a}{2}\right) \sin\left(\frac{x - a}{2}\right) \] Now let's apply this transformation and compute the limit: \[ \lim_{x \to a} \frac{2 \cos\left(\frac{x + a}{2}\right) \sin\left(\frac{x - a}{2}\right)}{x - a} = \lim_{x \to a} \left(2 \cos\left(\frac{x + a}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)}{\frac{x - a}{2}}\right) \] As \( x \) approaches \( a \), the term \( \frac{x - a}{2} \) approaches 0. Thus, the second factor: \[ \lim_{x \to a} \frac{\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)}{\frac{x - a}{2}} \] approaches 1, because it's the definition of the derivative of sine at 0: \[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \] Also, since \( \cos\left(\frac{x + a}{2}\right) \) is continuous, we can simply replace \( x \) with \( a \): \[ \lim_{x \to a} \cos\left(\frac{x + a}{2}\right) = \cos\left(\frac{2a}{2}\right) = \cos(a) \] Multiplying these two results yields: \[ \cos(a) \cdot 1 = \cos(a) \] Therefore, the value of the limit is \( \cos(a) \).
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