Question - Solving Complex Numbers and Numerical Sequences Problems
Solution:
Exercice 1:
a) Soit \(z_C = 2-i\), on a donc \(|z_C| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\) et \(\text{arg}(z_C) = \arctan\left(\frac{-1}{2}\right)\).
b) On a \(z_C = 2 - i\), alors \(z_C^2 = (2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 3 - 4i\).
Donc, \(\text{Re}(z_C^2) = 3\) et \(\text{Im}(z_C^2) = -4\), ce qui signifie que c'est bien réel et imaginaire pur.
c) \(z_C = 2 - i\), \(z_{C'} = \overline{z_C} = 2 + i\), donc \(z_{C'}^3 = (2 + i)^3 = 8 + 6i^2 + 12i + i^3 = 8 - 6 + 12i - i = 2 + 11i\).
d) \(z_A = -1 + i\sqrt{3}\), \(z_B = -1 - i\sqrt{3}\), \(z_C = 2 - i\), \(z_D = 2 + i\).
D'où \(z_{A}z_{C} = (-1 + i\sqrt{3})(2 - i) = -2 + i2\sqrt{3} + i\sqrt{3} - i^2\sqrt{3} = -2 + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3} + 3 = 1 + 2\sqrt{3}i\).
Et \(z_{B}z_{D} = (-1 - i\sqrt{3})(2 + i) = -2 - i2\sqrt{3} - i\sqrt{3} + i^2\sqrt{3} = -2 - 2\sqrt{3}i - \sqrt{3} + 3 = 1 - 2\sqrt{3}i\).
e) \(|z_{A}z_{C}| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}\). Donc le module de \(z_{A}z_{C}\) est \(\sqrt{13}\).
Donc la mesure de \([AB]\) est \(\sqrt{13} \text{cm}\).
Exercice 2:
a) Pour \(u_0=1\), on calcule \(u_1=4\cdot1^2-3=4-3=1\).
Donc \(u_1=u_0=1\).
b) Supposons que pour un certain \(n\), on ait \(u_n=u_0=1\). Alors \(u_{n+1}=4\cdot u_n^2-3=4\cdot 1^2-3=4-3=1\).
Donc par récurrence, \(u_{n+1}=u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
c) Comme on a démontré que pour tout \(n\), \(u_{n+1}=u_n=1\), alors la raison de la suite géométrique \(q = \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1\).
d) La somme des termes d'une suite géométrique de raison 1 est donnée par \(S_n = n\cdot u_0\), donc \(S_n = n\cdot1=n\).
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