Question - Solving an Exponential Equation with Fractions
Solution:
题目给出了一个方程：\[3^a - 5^b = m\]，以及 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]，让我们求 $$m$$ 的值。首先来处理第二个方程 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]。我们寻找能够使这个方程成立的 $$a$$ 和 $$b$$ 的值。因为这个方程涉及的是两个变数的倒数的和，所以可以预想 $$a$$ 和 $$b$$ 可能是比较小的整数。让我们尝试一些可能的整数对：- $$a = 1, b = 1$$，那么 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + 1 = 2$$，满足条件，但这会导致 $$b$$ 的值为 1，从而 $$5^b = 5$$，这似乎会让第一个方程变得没有意义，因为我们通常不考虑负数作为幂的底数，所以这组解不符合常规的数学规则。- $$a = 2, b = 2$$，同样 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$，并不满足条件。- $$a = 1, b = 2$$ 或者 $$a = 2, b = 1$$，都可以使得 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$，也不满足条件。继续尝试其他整数对，我们发现 $$a = 1, b = 2$$ 或者 $$a = 2, b = 1$$ 是错误的选择。但如果 $$a = 1, b = -2$$ 或者 $$a = -2, b = 1$$，就会满足方程 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]（由于是求和，所以负值也可以考虑进来）。现在处理第一个方程 \[3^a - 5^b = m\]。若使用 $$a = 1, b = -2$$，那么 $$3^a = 3$$ 和 $$5^b = 5^{-2} = \frac{1}{25}$$，从而：\[m = 3 - \frac{1}{25} = \frac{75}{25} - \frac{1}{25} = \frac{74}{25}\]因此 $$m$$ 的值是 \[\frac{74}{25}\]。
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com