Solving an Exponential Equation with Fractions
题目给出了一个方程：\[3^a - 5^b = m\]，以及 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]，让我们求 \(m\) 的值。
首先来处理第二个方程 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]。我们寻找能够使这个方程成立的 \(a\) 和 \(b\) 的值。因为这个方程涉及的是两个变数的倒数的和，所以可以预想 \(a\) 和 \(b\) 可能是比较小的整数。让我们尝试一些可能的整数对：
- \(a = 1, b = 1\)，那么 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + 1 = 2\)，满足条件，但这会导致 \(b\) 的值为 1，从而 \(5^b = 5\)，这似乎会让第一个方程变得没有意义，因为我们通常不考虑负数作为幂的底数，所以这组解不符合常规的数学规则。
- \(a = 2, b = 2\)，同样 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)，并不满足条件。
- \(a = 1, b = 2\) 或者 \(a = 2, b = 1\)，都可以使得 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)，也不满足条件。
继续尝试其他整数对，我们发现 \(a = 1, b = 2\) 或者 \(a = 2, b = 1\) 是错误的选择。但如果 \(a = 1, b = -2\) 或者 \(a = -2, b = 1\)，就会满足方程 \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\]（由于是求和，所以负值也可以考虑进来）。
现在处理第一个方程 \[3^a - 5^b = m\]。
若使用 \(a = 1, b = -2\)，那么 \(3^a = 3\) 和 \(5^b = 5^{-2} = \frac{1}{25}\)，从而：
\[m = 3 - \frac{1}{25} = \frac{75}{25} - \frac{1}{25} = \frac{74}{25}\]
因此 \(m\) 的值是 \[\frac{74}{25}\]。
