Question - Solving a Differential Equation

La ecuación diferencial proporcionada es separable y puede resolverse utilizando métodos de integración. La ecuación original es:

\[\frac{1}{P(1-P)} \, dP = dt\]

Separando las variables e integrando ambos lados, obtenemos:

\[\int \frac{1}{P(1-P)} \, dP = \int dt\]

Para resolver la integral del lado izquierdo, aplicamos fracciones parciales:

\[\frac{1}{P(1-P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}\]

Donde \( A(1-P) + BP = 1 \). Resolviendo para \( A \) y \( B \), obtenemos \( A = B = 1 \).

Entonces:

\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1-P} \right) \, dP = \int dt\]

\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]

Donde \( C \) es la constante de integración. Ahora aplicaremos la propiedad logarítmica de la diferencia de logaritmos para combinarlos en un solo logaritmo:

\[\ln \left| \frac{P}{1-P} \right| = t + C\]

Exponenciando ambos lados para despejar \( P \):

\[\frac{P}{1-P} = e^{t+C}\]

\[P = (1-P)e^{t+C}\]

\[P = e^{t+C} - Pe^{t+C}\]

\[P + Pe^{t+C} = e^{t+C}\]

\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]

\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]

Si definimos \( e^C \) como una nueva constante \( k \), obtenemos la solución general de la ecuación diferencial:

\[P = \frac{ke^t}{1 + ke^t}\]