Question - Simplifying Algebraic Expressions
Solution:
Para simplificar la expresión dada:
Comenzamos con:
\(\frac{x^2 \cdot (y^5)^3 \cdot \left( \frac{1}{z} \right)^2}{\frac{x^3}{z^5} \cdot \left( \frac{y^2}{z} \right)^{-4}}\)
Reescribiendo y simplificando paso a paso:
Numerador:
\(x^2 \cdot y^{15} \cdot \frac{1}{z^2}\)
Denominador:
\(\frac{x^3}{z^5} \cdot \frac{z^4}{y^8}\)
Combinando:
\(\frac{x^2 \cdot y^{15} \cdot z^4}{x^3 \cdot y^8 \cdot z^2 \cdot z^5}\)
Reduciendo términos:
\(= \frac{y^{15 - 8}}{z^{2 + 5 - 4} \cdot x^{3 - 2}}\)
Resultado final:
\(\frac{y^7}{z^5 \cdot x}\)
Tutor Solution:
Para simplificar la expresión que nos proporcionas, vamos a hacerlo paso a paso. La expresión completa es:
\[ \frac{x^2 \cdot (y^{5})^{3} \cdot \left( \frac{1}{z} \right)^{2}}{\frac{x^3}{z^5} \cdot \left( \frac{y^2}{z} \right)^{-4}} \]
Comencemos a simplificar cada parte por separado.
1. **Simplificación del numerador:**
Para el numerador, tenemos:
\[ x^2 \cdot (y^{5})^{3} \cdot \left( \frac{1}{z} \right)^{2} \]
Primero, simplificamos \( (y^{5})^{3} \) utilizando la propiedad de las potencias que dice \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\[ (y^{5})^{3} = y^{15} \]
Ahora, simplificamos \( \left( \frac{1}{z} \right)^{2} \):
\[ \left( \frac{1}{z} \right)^{2} = \frac{1}{z^2} \]
Por lo tanto, el numerador se convierte en:
\[ x^2 \cdot y^{15} \cdot \frac{1}{z^2} = \frac{x^2 \cdot y^{15}}{z^2} \]
2. **Simplificación del denominador:**
Para el denominador, tenemos:
\[ \frac{x^3}{z^5} \cdot \left( \frac{y^2}{z} \right)^{-4} \]
Primero, simplificamos \( \left( \frac{y^2}{z} \right)^{-4} \):
Utilizando la propiedad \( (a/b)^{-n} = \frac{b^n}{a^n} \):
\[ \left( \frac{y^2}{z} \right)^{-4} = \frac{z^4}{(y^2)^{-4}} = \frac{z^4}{y^8} \]
Por lo tanto, el denominador se convierte en:
\[ \frac{x^3}{z^5} \cdot \frac{z^4}{y^8} = \frac{x^3 \cdot z^4}{y^8 \cdot z^5} = \frac{x^3}{y^8 \cdot z} \]
3. **Ahora, escribimos la expresión completa:**
Juntando el numerador y el denominador, tenemos:
\[ \frac{\frac{x^2 \cdot y^{15}}{z^2}}{\frac{x^3}{y^8 \cdot z}} = \frac{x^2 \cdot y^{15} \cdot y^8 \cdot z}{x^3 \cdot z^2} \]
4. **Simplificando más:**
Ahora, simplificamos el numerador y el denominador donde sea posible:
Para la variable \( x \): \(\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x^{3-2}} = \frac{1}{x}\)
Para la variable \( y \): \(y^{15 + 8} = y^{23}\)
El \( z \) en el numerador y el \( z^2 \) en el denominador nos da: \(\frac{z}{z^2} = \frac{1}{z^{2-1}} = \frac{1}{z}\)
Combinando todo esto, la expresión resultante es:
\[ \frac{y^{23}}{x \cdot z} \]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\[ \frac{y^{23}}{x \cdot z} \]
Así que, la respuesta final es:
\[ \boxed{\frac{y^{23}}{x \cdot z}} \]
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