Question - Graphing a Quadratic Function
Solution:
La imagen muestra una expresión matemática y la instrucción "Dibujo gráfica", lo que sugiere que se debe dibujar la gráfica de la función dada.La expresión es una función cuadrática de la forma $$ y = -x^2 + 8x - 5 $$.Para dibujar la gráfica de esta función, normalmente seguiríamos estos pasos:1. Encontrar el vértice de la parábola.2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.3. Hallar los puntos de intersección con los ejes $$x$$ y $$y$$, si existen.4. Dibujar la parábola utilizando los puntos encontrados para guiar el trazo.Vamos a resolver cada paso:1. El vértice de una parábola en forma estándar $$ y = ax^2 + bx + c $$ se puede encontrar con la fórmula $$ x = -\frac{b}{2a} $$, y luego reemplazando ese valor de $$x$$ en la ecuación para encontrar $$y$$.Para nuestra función, $$ a = -1 $$ y $$ b = 8 $$, por lo que:$$ x_v = -\frac{8}{2(-1)} = 4 $$Al reemplazar $$ x = 4 $$ en la ecuación, encontramos $$ y $$:$$ y_v = -(4)^2 + 8(4) - 5 $$$$ y_v = -16 + 32 - 5 $$$$ y_v = 11 $$Por lo tanto, el vértice de la parábola es $$ (4, 11) $$.2. Como el coeficiente $$ a $$ es negativo, $$ a = -1 $$, la parábola se abre hacia abajo.3. Para encontrar los puntos de intersección con el eje $$ x $$ (las raíces de la ecuación), igualamos $$ y $$ a cero y resolvemos para $$ x $$:$$ 0 = -x^2 + 8x - 5 $$Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática. No es fácilmente factorizable, así que vamos a usar la fórmula cuadrática:$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$Donde $$ a = -1 $$, $$ b = 8 $$, y $$ c = -5 $$.$$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)} $$$$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 20}}{-2} $$$$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{44}}{-2} $$$$ x $$ tendrá dos valores, uno para $$ \pm $$, pero como estamos trabajando con números irracionales, puedes dejarlos como parte de la expresión o encontrar valores aproximados.Por último, el punto de intersección con el eje $$ y $$ es simplemente $$ y = -5 $$ cuando $$ x = 0 $$.4. Podemos esbozar la parábola a partir de estos puntos y sabiendo que se abre hacia abajo con vértice en $$ (4, 11) $$.Al dibujar la gráfica, debería parecer una "U" invertida, cruzando el eje $$ y $$ en $$ -5 $$ y teniendo un vértice alto en $$ (4, 11) $$. La parábola cruzará el eje $$ x $$ en los puntos encontrados con la fórmula cuadrática (en este caso se necesitaría una calculadora para obtener valores aproximados).
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