Graphing a Quadratic Function
La imagen muestra una expresión matemática y la instrucción "Dibujo gráfica", lo que sugiere que se debe dibujar la gráfica de la función dada.
La expresión es una función cuadrática de la forma \( y = -x^2 + 8x - 5 \).
Para dibujar la gráfica de esta función, normalmente seguiríamos estos pasos:
1. Encontrar el vértice de la parábola.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. Hallar los puntos de intersección con los ejes \(x\) y \(y\), si existen.
4. Dibujar la parábola utilizando los puntos encontrados para guiar el trazo.
Vamos a resolver cada paso:
1. El vértice de una parábola en forma estándar \( y = ax^2 + bx + c \) se puede encontrar con la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), y luego reemplazando ese valor de \(x\) en la ecuación para encontrar \(y\).
Para nuestra función, \( a = -1 \) y \( b = 8 \), por lo que:
\( x_v = -\frac{8}{2(-1)} = 4 \)
Al reemplazar \( x = 4 \) en la ecuación, encontramos \( y \):
\( y_v = -(4)^2 + 8(4) - 5 \)
\( y_v = -16 + 32 - 5 \)
\( y_v = 11 \)
Por lo tanto, el vértice de la parábola es \( (4, 11) \).
2. Como el coeficiente \( a \) es negativo, \( a = -1 \), la parábola se abre hacia abajo.
3. Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \) (las raíces de la ecuación), igualamos \( y \) a cero y resolvemos para \( x \):
\( 0 = -x^2 + 8x - 5 \)
Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática. No es fácilmente factorizable, así que vamos a usar la fórmula cuadrática:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Donde \( a = -1 \), \( b = 8 \), y \( c = -5 \).
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)} \)
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 20}}{-2} \)
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{44}}{-2} \)
\( x \) tendrá dos valores, uno para \( \pm \), pero como estamos trabajando con números irracionales, puedes dejarlos como parte de la expresión o encontrar valores aproximados.
Por último, el punto de intersección con el eje \( y \) es simplemente \( y = -5 \) cuando \( x = 0 \).
4. Podemos esbozar la parábola a partir de estos puntos y sabiendo que se abre hacia abajo con vértice en \( (4, 11) \).
Al dibujar la gráfica, debería parecer una "U" invertida, cruzando el eje \( y \) en \( -5 \) y teniendo un vértice alto en \( (4, 11) \). La parábola cruzará el eje \( x \) en los puntos encontrados con la fórmula cuadrática (en este caso se necesitaría una calculadora para obtener valores aproximados).
