Question - Evaluating Limits in Calculus

Чтобы решить данный предел, воспользуемся правилом Лопиталя, так как при подстановке \( x = 0 \) получается неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).

Исходная функция: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)

Применим правило Лопиталя и возьмем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя: \( (\sin x - x)' = \cos x - 1 \)

Производная знаменателя: \( (x^3)' = 3x^2 \)

Применяем правило Лопиталя еще раз, так как получившаяся дробь снова приводит к неопределенности \( \frac{0}{0} \), при \( x = 0 \):

Производная числителя после первого применения Лопиталя: \( (\cos x - 1)' = -\sin x \)

Производная знаменателя после первого применения Лопиталя: \( (3x^2)' = 6x \)

Таким образом, получаем:

\( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} \)

Мы можем упростить это выражение, зная, что \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \):

\( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{6} \cdot \frac{\sin x}{x} = \frac{-1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6} \)

Итак, ответ: \( -\frac{1}{6} \).