Question - Evaluating General Term of a Sequence
Solution:
Para resolver este problema, debemos evaluar la expresión del término general $$ a_n $$ para los primeros valores de $$ n $$, es decir, para $$ n = 1, 2, 3, \ldots $$. La expresión del término general para la secuencia es:\[ a_n = \left(\frac{-1}{2}\right)^{2n} \sen\left(\frac{(4n + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{2n+1} \cos(n\pi) \]Al realizar los cálculos para los primeros valores de $$ n $$, tendremos lo siguiente:Para $$ n = 1 $$:\[ a_1 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{2} \sen\left(\frac{(4(1) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{3} \cos(1\pi) \]\[ a_1 = \left(\frac{1}{4}\right) \sen\left(\frac{5\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{8}\right) (-1) \]\[ a_1 = \left(\frac{1}{4}\right) (1) + \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]Para $$ n = 2 $$:\[ a_2 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{4} \sen\left(\frac{(4(2) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{5} \cos(2\pi) \]\[ a_2 = \left(\frac{1}{16}\right) \sen\left(\frac{9\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{32}\right) \]\[ a_2 = \left(\frac{1}{16}\right) (1) - \left(\frac{1}{32}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{32} = \frac{1}{32} \]Para $$ n = 3 $$:\[ a_3 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{6} \sen\left(\frac{(4(3) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{7} \cos(3\pi) \]\[ a_3 = \left(\frac{1}{64}\right) \sen\left(\frac{13\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{128}\right) (-1) \]\[ a_3 = \left(\frac{1}{64}\right) (-1) + \left(\frac{1}{128}\right) = -\frac{1}{64} + \frac{1}{128} = -\frac{1}{128} \]Sin embargo, necesitamos simplificar para que se parezca a las respuestas en las opciones y también notar los patrones de los términos:Observe que el término seno se evaluará como 1 o -1 ya que los ángulos son múltiplos de $$\frac{\pi}{2}$$, y el término coseno alternará entre 1 y -1 porque $$n\pi$$ será o un múltiplo par de $$\pi$$ (coseno de un múltiplo par de $$\pi$$ es igual a 1) o un múltiplo impar de $$\pi$$ (coseno de un múltiplo impar de $$\pi$$ es igual a -1).Luego, para cada $$ n $$, el término $$ (-1/2)^{2n} $$ siempre será positivo, y el término $$ (-1/2)^{2n+1} $$ siempre será negativo.Siguiendo esta lógica y simplificando los términos a fracciones más básicas, deberíamos tener una secuencia que comienza así para los primeros valores:- $$ n = 1 $$: $$ \frac{3}{8} $$- $$ n = 2 $$: $$ \frac{1}{32} $$- $$ n = 3 $$: $$ -\frac{1}{128} $$- $$ n = 4 $$: $$ \frac{1}{512} $$Y así continúa alternando signos y aumentando el denominador. Observando las opciones, vemos que la opción que sigue este patrón es la letra $$ c) $$. Por lo tanto, la secuencia correcta es $$ 0, \frac{1}{2}, -1, 1, 0, \frac{1}{2}, \ldots $$.
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