Evaluating General Term of a Sequence
Para resolver este problema, debemos evaluar la expresión del término general \( a_n \) para los primeros valores de \( n \), es decir, para \( n = 1, 2, 3, \ldots \). La expresión del término general para la secuencia es:
\[ a_n = \left(\frac{-1}{2}\right)^{2n} \sen\left(\frac{(4n + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{2n+1} \cos(n\pi) \]
Al realizar los cálculos para los primeros valores de \( n \), tendremos lo siguiente:
Para \( n = 1 \):
\[ a_1 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{2} \sen\left(\frac{(4(1) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{3} \cos(1\pi) \]
\[ a_1 = \left(\frac{1}{4}\right) \sen\left(\frac{5\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{8}\right)
(-1) \]
\[ a_1 = \left(\frac{1}{4}\right) (1) + \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]
Para \( n = 2 \):
\[ a_2 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{4} \sen\left(\frac{(4(2) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{5} \cos(2\pi) \]
\[ a_2 = \left(\frac{1}{16}\right) \sen\left(\frac{9\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{32}\right) \]
\[ a_2 = \left(\frac{1}{16}\right) (1) - \left(\frac{1}{32}\right) = \frac{1}{16} - \frac{1}{32} = \frac{1}{32} \]
Para \( n = 3 \):
\[ a_3 = \left(\frac{-1}{2}\right)^{6} \sen\left(\frac{(4(3) + 1)\pi}{2}\right) + \left(\frac{-1}{2}\right)^{7} \cos(3\pi) \]
\[ a_3 = \left(\frac{1}{64}\right) \sen\left(\frac{13\pi}{2}\right) - \left(\frac{1}{128}\right) (-1) \]
\[ a_3 = \left(\frac{1}{64}\right) (-1) + \left(\frac{1}{128}\right) = -\frac{1}{64} + \frac{1}{128} = -\frac{1}{128} \]
Sin embargo, necesitamos simplificar para que se parezca a las respuestas en las opciones y también notar los patrones de los términos:
Observe que el término seno se evaluará como 1 o -1 ya que los ángulos son múltiplos de \(\frac{\pi}{2}\), y el término coseno alternará entre 1 y -1 porque \(n\pi\) será o un múltiplo par de \(\pi\) (coseno de un múltiplo par de \(\pi\) es igual a 1) o un múltiplo impar de \(\pi\) (coseno de un múltiplo impar de \(\pi\) es igual a -1).
Luego, para cada \( n \), el término \( (-1/2)^{2n} \) siempre será positivo, y el término \( (-1/2)^{2n+1} \) siempre será negativo.
Siguiendo esta lógica y simplificando los términos a fracciones más básicas, deberíamos tener una secuencia que comienza así para los primeros valores:
- \( n = 1 \): \( \frac{3}{8} \)
- \( n = 2 \): \( \frac{1}{32} \)
- \( n = 3 \): \( -\frac{1}{128} \)
- \( n = 4 \): \( \frac{1}{512} \)
Y así continúa alternando signos y aumentando el denominador. Observando las opciones, vemos que la opción que sigue este patrón es la letra \( c) \). Por lo tanto, la secuencia correcta es \( 0, \frac{1}{2}, -1, 1, 0, \frac{1}{2}, \ldots \).
