Question - Derivative of Inverse Cosine Function with Chain Rule
Solution:
Para resolver la derivada de la función $$ f(x) = \arccos\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) $$, utilizaremos la regla de la cadena. Primero, considera que la derivada de $$ \arccos(u) $$ es $$ -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} $$, y luego debemos tomar la derivada de $$ u $$ respecto a $$ x $$, siendo $$ u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$.La derivada de $$ u $$ con respecto a $$ x $$ es un poco más complicada, ya que tiene una raíz cuadrada en el denominador. Vamos a calcularla paso a paso.La función $$ u $$ puede ser reescrita como $$ u(x) = (x^2 + 1)^{-1/2} $$. Al diferenciar $$ u $$ con respecto a $$ x $$, aplicamos la regla de la cadena y obtenemos:\[ u'(x) = -\frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \]Ahora, aplicamos la regla de la cadena para diferenciar la función $$ f(x) $$:$$\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'(x) \\&= -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\&= -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\&= -\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\&= -\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\&= -\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\&= \frac{x}{(x^2 + 1)^{2}}.\end{aligned}$$Entonces, la respuesta correcta es:a) $$ \frac{2x}{x^2 + 1} $$
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