Derivative of Inverse Cosine Function with Chain Rule
Para resolver la derivada de la función \( f(x) = \arccos\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) \), utilizaremos la regla de la cadena. Primero, considera que la derivada de \( \arccos(u) \) es \( -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \), y luego debemos tomar la derivada de \( u \) respecto a \( x \), siendo \( u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
La derivada de \( u \) con respecto a \( x \) es un poco más complicada, ya que tiene una raíz cuadrada en el denominador. Vamos a calcularla paso a paso.
La función \( u \) puede ser reescrita como \( u(x) = (x^2 + 1)^{-1/2} \). Al diferenciar \( u \) con respecto a \( x \), aplicamos la regla de la cadena y obtenemos:
\[ u'(x) = -\frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \]
Ahora, aplicamos la regla de la cadena para diferenciar la función \( f(x) \):
\[
\begin{aligned}
f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'(x) \\
&= -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\
&= -\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}} \cdot \left(-\frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}\right) \\
&= \frac{x}{(x^2 + 1)^{2}}.
\end{aligned}
\]
Entonces, la respuesta correcta es:
a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
