Question - Counting Visible Cubes on a Composite Cube
Solution:
Die Übung bezieht sich darauf, die Anzahl der kleinen Würfel in einem größeren Würfel (wie bei einem Rubik's Cube) zu bestimmen, wobei die inneren Würfel (die nicht sichtbar sind) nicht gezählt werden sollen.In diesem Fall haben wir einen Würfel, der so aussieht wie ein Rubik's Cube und scheint aus kleineren Würfeln zusammengesetzt zu sein. Um die Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel zu bestimmen, müssen wir die Anzahl der Würfel auf jeder Seite des größeren Würfels zählen und dann die Würfel an den Kanten und Ecken so adjustieren, dass keine doppelt gezählt werden.Hier ist eine allgemeine Formel, um die Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel auf einem Würfel mit der Kantenlänge n zu berechnen:Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel = $$ 6n^2 - 12n + 8 $$Die Begründung für diese Formel ist folgendermaßen:- $$ 6n^2 $$: Jede der 6 Seitenflächen des Würfels hat $$ n^2 $$ kleine Würfel.- $$ -12n $$: Die Kanten haben doppelt gezählte Würfel. Da es 12 Kanten gibt und jede Kante $$ n $$ Würfel hat (die Ecken nicht doppelt zählen), subtrahieren wir $$ 12n $$.- $$ +8 $$: Schlussendlich addieren wir 8 hinzu für die acht Ecken, da jede Ecke in der ursprünglichen Rechnung 3-mal abgezogen wurde und 1-mal gezählt werden soll.Wenn der Würfel die Kantenlänge 3 hat (wie beim typischen Rubik's Cube), setzen wir in die Formel n=3 ein:Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel = $$ 6*3^2 - 12*3 + 8 $$ = $$ 6*9 - 36 + 8 $$ = $$ 54 - 36 + 8 $$ = $$ 26 $$Es gibt also 26 sichtbare kleinere Würfel an der Oberfläche eines Würfels mit einer Kantenlänge von 3.
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