Example Question - rubik's cube
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Visible Cubes on a Composite Cube
Die Übung bezieht sich darauf, die Anzahl der kleinen Würfel in einem größeren Würfel (wie bei einem Rubik's Cube) zu bestimmen, wobei die inneren Würfel (die nicht sichtbar sind) nicht gezählt werden sollen. In diesem Fall haben wir einen Würfel, der so aussieht wie ein Rubik's Cube und scheint aus kleineren Würfeln zusammengesetzt zu sein. Um die Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel zu bestimmen, müssen wir die Anzahl der Würfel auf jeder Seite des größeren Würfels zählen und dann die Würfel an den Kanten und Ecken so adjustieren, dass keine doppelt gezählt werden. Hier ist eine allgemeine Formel, um die Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel auf einem Würfel mit der Kantenlänge n zu berechnen: Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel = \( 6n^2 - 12n + 8 \) Die Begründung für diese Formel ist folgendermaßen: - \( 6n^2 \): Jede der 6 Seitenflächen des Würfels hat \( n^2 \) kleine Würfel. - \( -12n \): Die Kanten haben doppelt gezählte Würfel. Da es 12 Kanten gibt und jede Kante \( n \) Würfel hat (die Ecken nicht doppelt zählen), subtrahieren wir \( 12n \). - \( +8 \): Schlussendlich addieren wir 8 hinzu für die acht Ecken, da jede Ecke in der ursprünglichen Rechnung 3-mal abgezogen wurde und 1-mal gezählt werden soll. Wenn der Würfel die Kantenlänge 3 hat (wie beim typischen Rubik's Cube), setzen wir in die Formel n=3 ein: Anzahl der sichtbaren kleineren Würfel = \( 6*3^2 - 12*3 + 8 \) = \( 6*9 - 36 + 8 \) = \( 54 - 36 + 8 \) = \( 26 \) Es gibt also 26 sichtbare kleinere Würfel an der Oberfläche eines Würfels mit einer Kantenlänge von 3.
Understanding Staircase Numbers and Cube Configurations
Auf dem Bild sind zwei Aufgaben zum Übung 1.2 gegeben. Hier ist die Hilfestellung zur Lösung der Fragen: 1. Welche Zahlen lassen sich als Zer., Jer., ... Treppe darstellen? Begründung? Antwort: Zahlen, die eine Quadratzahl sind (z.B. 1, 4, 9, 16, ...), lassen sich als solche Treppen darstellen, da jede Stufe der Treppe eine Einheit weniger hat als die vorherige. Die Gesamtzahl der Einheiten entspricht einer Quadratzahl. 2. Ist 1000 eine Treppenzahl? Wie ja, wie schließt die Darstellung als Treppe aus? Antwort: 1000 ist keine Treppenzahl, denn keine Quadratzahl ist genau 1000. Eine Quadratzahl davor wäre 961 (31^2) und die nächste Quadratzahl danach wäre 1024 (32^2). 3. Welche Zahlen eignen sich nicht als Treppe darzustellen? Was unterscheidet die Zahlen von den anderen? Antwort: Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, eignen sich nicht als Treppe darzustellen. Sie unterscheiden sich von den anderen Zahlen (Quadratzahlen), weil sie sich nicht als Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen darstellen lassen, welche die Treppe bilden würden. Die zweite Aufgabe "Übung 1.2" beinhaltet ein Bild von einem Rubik's Cube und Fragen zu diesem. Die Fragen lauten: - Was passiert mit der Anzahl, wenn man den Würfel vergrößert? - Formulieren Sie die Anzahl der kleinen Würfel allgemein. Antwort: Wenn der Rubik's Cube vergrößert wird, steigt die Anzahl der kleineren Würfel insgesamt, weil jede Dimension des Würfels um die Anzahl der hinzugefügten Ebenen zunimmt. Die allgemeine Formel für die Anzahl der kleineren Würfel in einem Rubik's Cube (oder einem nxnxn Cube) ist \( n^3 \), wobei n für die Anzahl der Würfel entlang einer Kante steht.
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