Question - Counting Rectangles in a Grid
Solution:
Xét bảng hình chữ nhật có \( m \) hàng và \( n \) cột. Một hình chữ nhật trong bảng được xác định bởi việc chọn 2 hàng khác nhau từ \( m \) hàng và 2 cột khác nhau từ \( n \) cột để tạo thành các cạnh. Số hình chữ nhật có thể có là số cách chọn 2 hàng khác nhau nhân với số cách chọn 2 cột khác nhau.
Trong hình ảnh, chúng ta có một bảng 2x4. Vậy:
Số cách chọn 2 hàng từ 2 hàng = \( C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1 \)
Số cách chọn 2 cột từ 4 cột = \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \)
Số hình chữ nhật có thể có là \( 1 \times 6 = 6 \)
Tuy nhiên, hình ảnh cũng cho thấy một đường kẻ bổ sung mà có thể phân chia một cột thành hai phần, tạo ra một cột phụ.
Bây giờ ta có 5 cột để xem xét.
Số cách chọn 2 cột từ 5 cột = \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \)
Số hình chữ nhật mới có thể có là \( 1 \times 10 = 10 \)
Vậy tổng số hình chữ nhật có thể được đếm là \( 6 + 10 = 16 \).
Tutor Solution:
Trước hết, ta nhận thấy rằng bảng ô vuông trong hình ảnh có thể được phân chia thành các hình nhỏ hơn. Hãy bắt đầu bằng việc đếm số ô vuông mà ta có thể nhìn thấy.
Bảng có 3 hàng và 4 cột. Như vậy, số ô vuông đơn là \(3 \times 4 = 12\) ô vuông.
Tiếp theo, chúng ta có thể tìm số hình chữ nhật lớn hơn bằng cách xem xét các kích thước khác nhau của chúng. Mỗi hình chữ nhật được định nghĩa bởi số hàng và số cột nó chiếm. Ví dụ, hình chữ nhật kích thước 1x2, 2x1, 2x3, v.v...
Để đếm số lượng, chúng ta sẽ làm như sau:
Hình chữ nhật kích thước 1x2: Có 3 hàng và 3 cách chọn 2 cột liền kề trong 4 cột. Như vậy có \(3 \times 3 = 9\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 2x1: Có 2 cách chọn 2 hàng liền kề trong 3 hàng và 4 cột. Như vậy có \(2 \times 4 = 8\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 2x2: Có 2 cách chọn 2 hàng liền kề và 3 cách chọn 2 cột liền kề. Như vậy có \(2 \times 3 = 6\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 2x3: Có 2 cách chọn 2 hàng liền kề và 2 cách chọn 3 cột liền kề. Như vậy có \(2 \times 2 = 4\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 1x3: Có 3 hàng và 2 cách chọn 3 cột liền kề. Như vậy có \(3 \times 2 = 6\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 3x1: Chỉ có một cách chọn 3 hàng liền kề và 4 cột. Như vậy có \(1 \times 4 = 4\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 3x2: Chỉ có một cách chọn 3 hàng liền kề và 3 cách chọn 2 cột liền kề. Như vậy có \(1 \times 3 = 3\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 1x4: Có 3 hàng và chỉ một cách chọn 4 cột. Như vậy có \(3 \times 1 = 3\) hình chữ nhật.
Hình chữ nhật kích thước 3x4 (toàn bộ bảng): Chỉ tồn tại một cách chọn. Như vậy có \(1 \times 1 = 1\) hình chữ nhật.
Tổng cộng số hình chữ nhật bao gồm tất cả các kích thước sẽ là: \(12 + 9 + 8 + 6 + 4 + 6 + 4 + 3 + 3 + 1 = 56\) hình chữ nhật.
Vậy bảng ô vuông trong hình ảnh có tổng cộng 56 hình chữ nhật.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com