Question - Composition of Functions and Trigonometric Expressions

Задача 6: Построение графика функции \( y = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right) + 1 \) на промежутке \([0,2\pi]\).

Первый шаг - упростим данное выражение:

\( y = \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right) + 1 = \sin \left( \frac{x}{2} \right) + 1 \)

Это периодическая функция с периодом \( T = 4\pi \) и амплитудой \( A = 1 \), сдвигом по горизонтали на \( \frac{\pi}{2} \) вправо и сдвигом по вертикали на \( 1 \) вверх. Так как нам нужен график на промежутке от \( 0 \) до \( 2\pi \), его можно построить с учетом данных параметров.

Значения функции на концах и серединах интервалов периодов:

\( x = 0 \) : \( y = \sin(0) + 1 = 1 \)

\( x = \pi \) : \( y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 \)

\( x = 2\pi \) : \( y = \sin(\pi) + 1 = 1 \)

Используя эти значения и свойства синусоиды, можно нарисовать график.