Question - Comparing Convergence of Series
Solution:
在比較測試中，我們希望找到一個與給定級數相比較時，可以輕鬆判斷其收斂性的級數。給定的級數是 $$\sum \frac{2 + \cos k}{k^3}$$。我們知道 $$-1 \leq \cos k \leq 1$$ 對於所有的 k。因此，給定級數的每一項都滿足 $$ \frac{1}{k^3} \leq \frac{2 + \cos k}{k^3} \leq \frac{3}{k^3}$$。由於 $$\frac{1}{k^3}$$ 和 $$\frac{3}{k^3}$$ 都是 $$ \frac{C}{k^3}$$ 的形式，其中 C 是常數，如果 $$p > 1$$，那麼級數 $$\sum \frac{1}{k^p}$$ 是收斂的。在這個情況下，$$p = 3$$，所以這兩個級數都是收斂的。我們可以使用這兩個級數來比較給定級數的收斂性。現在我們來查看選項：(A) $$ \sum \frac{3}{k}$$ 不是收斂的，因為它是諧波級數的倍數。(B) $$ \sum \frac{2}{k^3}$$ 是收斂的，因為它相當於形式 $$\frac{C}{k^3}$$ 的級數。(C) $$ \sum \frac{3}{2k^3}$$ 也是收斂的，因為它也相當於形式 $$\frac{C}{k^3}$$ 的級數。(D) $$ \sum \frac{1}{k}$$ 不是收斂的，因為它就是諧波級數。所以，最合適來比較的級數應該是那些具有 $$\frac{1}{k^3}$$ 形式的收斂級數。因此，正確的答案是 B $$ \sum \frac{2}{k^3}$$ 和 C $$ \sum \frac{3}{2k^3}$$。但在選項中，我們通常選擇最接近給定級數的一項的級數，所以最好的答案是 B $$ \sum \frac{2}{k^3}$$。
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