Example Question - convergence of series
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing the Convergence of an Infinite Series
The given series is: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(3n)!} \] We will use the Ratio Test to determine the convergence of the series. The Ratio Test says that for a series \(\sum a_n\), if \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \] and - If \(L < 1\), the series absolutely converges. - If \(L > 1\) or \(L = \infty\), the series diverges. - If \(L = 1\), the test is inconclusive. <p>Let \(a_n = \frac{n!}{(3n)!}\).</p> <p>We need to compute \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\).</p> <p>\( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)!/(3(n+1))!}{n!/(3n)!} = \frac{(n+1)! \cdot (3n)!}{(3n+3)! \cdot n!} = \frac{(n+1)}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \)</p> <p>\( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{27n^2} = 0 \)</p> <p>Since \(0 < 1\), by the Ratio Test, the series absolutely converges.</p>
Comparing Convergence of Series
在比較測試中，我們希望找到一個與給定級數相比較時，可以輕鬆判斷其收斂性的級數。給定的級數是 \(\sum \frac{2 + \cos k}{k^3}\)。我們知道 \(-1 \leq \cos k \leq 1\) 對於所有的 k。 因此，給定級數的每一項都滿足 \( \frac{1}{k^3} \leq \frac{2 + \cos k}{k^3} \leq \frac{3}{k^3}\)。 由於 \(\frac{1}{k^3}\) 和 \(\frac{3}{k^3}\) 都是 \( \frac{C}{k^3}\) 的形式，其中 C 是常數，如果 \(p > 1\)，那麼級數 \(\sum \frac{1}{k^p}\) 是收斂的。在這個情況下，\(p = 3\)，所以這兩個級數都是收斂的。我們可以使用這兩個級數來比較給定級數的收斂性。 現在我們來查看選項： (A) \( \sum \frac{3}{k}\) 不是收斂的，因為它是諧波級數的倍數。 (B) \( \sum \frac{2}{k^3}\) 是收斂的，因為它相當於形式 \(\frac{C}{k^3}\) 的級數。 (C) \( \sum \frac{3}{2k^3}\) 也是收斂的，因為它也相當於形式 \(\frac{C}{k^3}\) 的級數。 (D) \( \sum \frac{1}{k}\) 不是收斂的，因為它就是諧波級數。 所以，最合適來比較的級數應該是那些具有 \(\frac{1}{k^3}\) 形式的收斂級數。因此，正確的答案是 B \( \sum \frac{2}{k^3}\) 和 C \( \sum \frac{3}{2k^3}\)。但在選項中，我們通常選擇最接近給定級數的一項的級數，所以最好的答案是 B \( \sum \frac{2}{k^3}\)。
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