Question - Combinations with Repetition in Counting Marbles
Solution:
Die Frage in dem Bild lautet:8. Eine Tüte soll mit 10 Murmeln bestückt werden. Dafür sind je 10 grüne, blaue und rote Murmeln vorrätig. Wie viele mögliche Zusammenstellungen der Tüte gibt es?Um diese Frage zu lösen, gehen wir von einem Problem der Kombinatorik aus. Da wir wiederholte Farben bei den Murmeln haben und die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist, handelt es sich um ein Problem der Kombinationen mit Wiederholung.Die Formel für Kombinationen mit Wiederholung lautet:$$C'(n, k) = C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}$$wobei $$n$$ die Anzahl der verschiedenen Elemente ist (in diesem Fall sind es die 3 Farben) und $$k$$ die Anzahl der auszuwählenden Elemente ist (in diesem Fall 10 Murmeln).Setzen wir unsere Werte in die Formel ein, erhalten wir:$$C'(3, 10) = C(3 + 10 - 1, 10) = \frac{(3 + 10 - 1)!}{10!(3 - 1)!} = \frac{12!}{10!2!}$$Wir berechnen den Wert:$$\frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$$Es gibt also 66 mögliche Zusammenstellungen der Tüte, wenn 10 Murmeln aus den Farben Grün, Blau und Rot ausgewählt werden sollen und von jeder Farbe genügend Murmeln zur Verfügung stehen.
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