Example Question - combinatorics problem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Combinatorics Problem: PIN Creation and Permutations
Die Aufgabe lautet: a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen PIN aus 4 Ziffern zu erstellen, wenn es sich um unterschiedliche Ziffern handeln soll? Welcher kombinatorischen Grundsituation ist die obige Aufgabenstellung zuzuordnen? Kreuzen Sie den richtigen Term an und begründen Sie. Die Optionen sind: i) \( n^k \) ii) \( \frac{n!}{(n-k)!} \) iii) \( \binom{n}{k} \) iv) \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Die Antwort auf diese Frage ist Option ii), \( \frac{n!}{(n-k)!} \), weil dies eine Permutation ohne Wiederholung darstellt. Da wir 4 Ziffern für den PIN auswählen, ohne sie zu wiederholen, aus einer Gesamtmenge von 10 möglichen Ziffern (0-9), ergibt sich das durch: Es gibt 10 Optionen für die erste Ziffer, 9 für die zweite, 8 für die dritte und 7 für die vierte Ziffer. Also: \( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \) Da wir die untereinanderfolgenden natürlichen Zahlen von 10 aufwärts zählen und mit 7 stoppen. b) Formulieren Sie die obige Aufgabenstellung so um, dass sie sich einer der anderen drei Grundsituationen zuordnen lässt. Geben Sie den dazugehörigen Term (mit eingesetzten Zahlen) an. Einer der anderen drei Grundsituationen könnte eine Kombination ohne Wiederholung sein. Das bedeutet, dass die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Wenn wir also statt des 4-stelligen PINs eine Auswahl von 4 Ziffern treffen wollten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie angeordnet sind, dann würde das einer Kombination entsprechen. Option iii), \( \binom{n}{k} \), ist der Term, der diese Situation repräsentiert: \( \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \) Das wäre der Fall, wenn man zum Beispiel 4 Ziffern für eine Lotterieziehung aussucht, bei der die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, keine Rolle spielt.
Combinations with Repetition in Counting Marbles
Die Frage in dem Bild lautet: 8. Eine Tüte soll mit 10 Murmeln bestückt werden. Dafür sind je 10 grüne, blaue und rote Murmeln vorrätig. Wie viele mögliche Zusammenstellungen der Tüte gibt es? Um diese Frage zu lösen, gehen wir von einem Problem der Kombinatorik aus. Da wir wiederholte Farben bei den Murmeln haben und die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist, handelt es sich um ein Problem der Kombinationen mit Wiederholung. Die Formel für Kombinationen mit Wiederholung lautet: \[ C'(n, k) = C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} \] wobei \(n\) die Anzahl der verschiedenen Elemente ist (in diesem Fall sind es die 3 Farben) und \(k\) die Anzahl der auszuwählenden Elemente ist (in diesem Fall 10 Murmeln). Setzen wir unsere Werte in die Formel ein, erhalten wir: \[ C'(3, 10) = C(3 + 10 - 1, 10) = \frac{(3 + 10 - 1)!}{10!(3 - 1)!} = \frac{12!}{10!2!} \] Wir berechnen den Wert: \[ \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \] Es gibt also 66 mögliche Zusammenstellungen der Tüte, wenn 10 Murmeln aus den Farben Grün, Blau und Rot ausgewählt werden sollen und von jeder Farbe genügend Murmeln zur Verfügung stehen.
Calculating Possible License Plate Combinations
The image provided contains a text that seems to refer to a combinatorics or probability problem involving license plates. Due to the resolution, I can't read the full text, but the part that is visible mentions that it is about license plates with three letters followed by three digits. The letters I and O are omitted, and the digits 1, 2, and 9 are not used. Since there are 24 letters (excluding I and O from the 26 letters of the English alphabet) and 7 usable digits (excluding 1, 2, and 9 from the 10 digits 0-9), we can calculate the number of possible license plates. For each position for the letters, there are 24 possibilities since two letters are omitted from the alphabet. For each position of the numbers, there are 7 possibilities since three numbers are omitted from the 0-9 range. The total number of different license plates that can be generated is calculated by multiplying the number of possibilities for each position: Number of letter combinations = 24 * 24 * 24 (because the letters can be repeated) Number of digit combinations = 7 * 7 * 7 (because the digits can be repeated) The total number of license plate combinations = Number of letter combinations * Number of digit combinations Let's calculate this: Number of letter combinations = 24^3 = 13,824 Number of digit combinations = 7^3 = 343 Total combinations = 13,824 * 343 = 4,741,632 So, there are 4,741,632 different possible license plates that can be generated using this format.
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