Question - Circle Geometry Problems

Dado que la imagen es un poco borrosa y no se pueden discernir todos los detalles con precisión, resolveré la pregunta número 4, que parece estar más clara y requiere el cálculo del área de un sector y la longitud de un arco dado un ángulo central y el radio de un círculo.

El área \( A \) de un sector de un círculo con radio \( r \) y ángulo central \( \theta \) (en radianes) es:

\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]

La longitud \( L \) de un arco con radio \( r \) y ángulo central \( \theta \) (en radianes) es:

\[ L = r \theta \]

En la pregunta 4, dan \( r = 3 \, cm \) y \( \theta = 60^\circ \). Primero convertimos el ángulo a radianes, recordando que \( 180^\circ \) equivalen a \( \pi \) radianes:

\[ \theta = 60^\circ \cdot \frac{\pi \text{ rad}}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ rad} \]

Sustituimos \( r \) y \( \theta \) en las fórmulas para área y longitud de arco:

\[ A = \frac{1}{2} (3\, cm)^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6}\, cm^2 = \frac{3\pi}{2}\, cm^2 \]

\[ L = 3\, cm \cdot \frac{\pi}{3} = \pi\, cm \]

Por lo tanto, el área del sector es \( \frac{3\pi}{2}\, cm^2 \) y la longitud del arco es \( \pi\, cm \).