Question - Calculating the Tax-Sheltered Annuity Value with Quarterly Compounding
Solution:
好的，我们要计算的是在每个季度末向以9%的年化季度复利投资的税收优惠年金 (Tax-Sheltered Annuity, TSA) 中存入$200后20年（即80次存款）的价值。我们可以用年金终值公式来解这个问题：年金终值 $$ FV $$ 的计算公式是:\[ FV = P \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \]其中：$$ P $$ 是每期支付金额$$ r $$ 是每期利率$$ n $$ 是支付期数在这个问题中：$$ P = $200 $$年利率为9%，因为是按季度复利，所以季度利率 $$ r = \frac{9\%}{4} = 2.25\% = 0.0225 $$$$ n = 20 \times 4 = 80 $$ 季度带入公式，得出:\[ FV = 200 \times \frac{(1 + 0.0225)^{80} - 1}{0.0225} \]我们可以先计算出 $$ (1 + 0.0225)^{80} $$，然后将其余的部分做计算。\[ (1 + 0.0225)^{80} = (1.0225)^{80} \]我会先为你计算这个数值。因为我无法直接执行数学运算，我们可以用步骤来处理这个公式：\[ (1.0225)^{80} ≈ 4.8018 \] (这个数值是四舍五入的结果)现在代入计算出来的 $$ (1 + r)^n $$ 值：\[ FV = 200 \times \frac{4.8018 - 1}{0.0225} \]\[ FV = 200 \times \frac{3.8018}{0.0225} \]\[ FV ≈ 200 \times 168.9689 \]\[ FV ≈ 33819.78 \]所以，终值大约是 $33,819.78。当然，这个计算是基于利率恒定，而且每个季度末都投入$200，且在计算中四舍五入得到的近似结果。
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