Question - Calculating Tangent Value
mathtrigonometric functionscalculating tangent valuefind tangent valuetangent of difference of angles
Solution:
Para resolver la pregunta, necesitamos utilizar nuestro conocimiento sobre las funciones trigonométricas. La pregunta nos da dos partes de información: un rango en el que se encuentra el valor de $$ t $$ y el valor de la secante de $$ t $$, $$ \sec(t) = \frac{5}{4} $$.El rango dado es $$ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $$. Esto indica que estamos en el cuarto cuadrante del círculo unitario, donde la función seno es negativa y la función coseno es positiva.La secante es el recíproco del coseno, por lo que si $$ \sec(t) = \frac{5}{4} $$, entonces $$ \cos(t) = \frac{4}{5} $$. Y como estamos en el cuarto cuadrante, el valor del coseno es positivo, lo que confirma que $$ \cos(t) = \frac{4}{5} $$.La tangente es el seno dividido por el coseno, $$ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $$. Pero no tenemos el valor del seno todavía. Para encontrarlo, podemos usar la identidad pitagórica: $$ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $$.Reemplazamos $$ \cos(t) $$ con $$ \frac{4}{5} $$ y resolvemos para $$ \sin(t) $$:$$ \sin^2(t) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 $$$$ \sin^2(t) + \frac{16}{25} = 1 $$$$ \sin^2(t) = 1 - \frac{16}{25} $$$$ \sin^2(t) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} $$$$ \sin^2(t) = \frac{9}{25} $$Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos que $$ \sin(t) $$ es $$ \pm\frac{3}{5} $$. Pero dado que estamos en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo, entonces $$ \sin(t) = -\frac{3}{5} $$.Ahora podemos calcular la tangente:$$ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} $$La pregunta pide el valor de $$ \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) $$, esto se puede calcular utilizando la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos:$$ \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} $$Donde $$ a = t $$ y $$ b = \frac{\pi}{4} $$. Dado que $$ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$, podemos sustituir:$$ \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(t) - 1}{1 + \tan(t)} = \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = -7 $$Por lo tanto, el valor de $$ \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) $$ es $$ -7 $$.
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