Calculating Tangent Value
Para resolver la pregunta, necesitamos utilizar nuestro conocimiento sobre las funciones trigonométricas. La pregunta nos da dos partes de información: un rango en el que se encuentra el valor de \( t \) y el valor de la secante de \( t \), \( \sec(t) = \frac{5}{4} \).
El rango dado es \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \). Esto indica que estamos en el cuarto cuadrante del círculo unitario, donde la función seno es negativa y la función coseno es positiva.
La secante es el recíproco del coseno, por lo que si \( \sec(t) = \frac{5}{4} \), entonces \( \cos(t) = \frac{4}{5} \). Y como estamos en el cuarto cuadrante, el valor del coseno es positivo, lo que confirma que \( \cos(t) = \frac{4}{5} \).
La tangente es el seno dividido por el coseno, \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \). Pero no tenemos el valor del seno todavía. Para encontrarlo, podemos usar la identidad pitagórica: \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \).
Reemplazamos \( \cos(t) \) con \( \frac{4}{5} \) y resolvemos para \( \sin(t) \):
\( \sin^2(t) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2(t) + \frac{16}{25} = 1 \)
\( \sin^2(t) = 1 - \frac{16}{25} \)
\( \sin^2(t) = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \)
\( \sin^2(t) = \frac{9}{25} \)
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos que \( \sin(t) \) es \( \pm\frac{3}{5} \). Pero dado que estamos en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo, entonces \( \sin(t) = -\frac{3}{5} \).
Ahora podemos calcular la tangente:
\( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \)
La pregunta pide el valor de \( \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) \), esto se puede calcular utilizando la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos:
\( \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} \)
Donde \( a = t \) y \( b = \frac{\pi}{4} \). Dado que \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \), podemos sustituir:
\( \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(t) - 1}{1 + \tan(t)} = \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = -7 \)
Por lo tanto, el valor de \( \tan\left(t - \frac{\pi}{4}\right) \) es \( -7 \).
