Question - Building Tiered Cube Structures with Sum of Squares
Solution:
Die Aufgabe fordert uns auf, eine Würfelgebäude zu bauen oder zu zeichnen und herauszufinden, wie viele Würfel für die jeweiligen Größen (3x3, 5x5, ...) nötig sind. Die Würfelgebäude sehen wie dreidimensionale Pyramiden mit quadratischer Grundfläche aus.Für ein solches Würfelgebäude, das aus Würfeln mit einem Würfel pro Spitze aufgebaut ist, entspricht die Anzahl der benötigten Würfel der Summe der ersten n Quadratzahlen, wobei n die Anzahl der Ebenen ist.Die Anzahl der Würfel für eine Ebene ist das Quadrat der Ebene. Also für die erste Ebene 1², für die zweite Ebene 2², für die dritte Ebene 3² und so weiter.Für das 3x3 Gebäude (3 Ebenen):1. Ebene: 3² = 9 Würfel2. Ebene: 2² = 4 Würfel3. Ebene: 1² = 1 WürfelInsgesamt: 9 + 4 + 1 = 14 Würfel benötigtFür das 5x5 Gebäude (5 Ebenen):1. Ebene: 5² = 25 Würfel2. Ebene: 4² = 16 Würfel3. Ebene: 3² = 9 Würfel4. Ebene: 2² = 4 Würfel5. Ebene: 1² = 1 WürfelInsgesamt: 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55 Würfel benötigtNun wollen wir das Muster weiterführen und berechnen, wie viele Würfel für Gebäude mit insgesamt 8, 10, 12, ... Ebenen benötigt werden.Wenn wir das Muster erkennen, können wir die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen verwenden:Summe = n(n + 1)(2n + 1)/6Da dies jedoch ein mathematisches Muster ist, werden wir bei diesem Fall bei den manuellen Berechnungen bleiben, um der Aufgabenstellung gerecht zu werden.Für das 8x8 Gebäude (8 Ebenen):1. Ebene: 8² = 64 Würfel2. Ebene: 7² = 49 Würfel3. Ebene: 6² = 36 Würfel4. Ebene: 5² = 25 Würfel5. Ebene: 4² = 16 Würfel6. Ebene: 3² = 9 Würfel7. Ebene: 2² = 4 Würfel8. Ebene: 1² = 1 WürfelInsgesamt: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 Würfel benötigtFür das 10x10 Gebäude (10 Ebenen):1. Ebene: 10² = 100 Würfel2. Ebene: 9² = 81 Würfel3. Ebene: 8² = 64 Würfel4. Ebene: 7² = 49 Würfel5. Ebene: 6² = 36 Würfel6. Ebene: 5² = 25 Würfel7. Ebene: 4² = 16 Würfel8. Ebene: 3² = 9 Würfel9. Ebene: 2² = 4 Würfel10. Ebene: 1² = 1 WürfelInsgesamt: 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 Würfel benötigtWenn du das Muster weiterführen möchtest, wiederholt sich der Prozess für die gewünschte Anzahl von Ebenen.
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