Question - Approximating the Area Under a Curve Using Riemann Sums

لحل هذا السؤال، سنستخدم مجموع ريمان الأيسر:

معادلة الدالة \( y = x^2 + 2 \)

المجال هو \([0, 1]\)

عدد المستطيلات \( n = 12 \)

عرض كل مستطيل \( \Delta x = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \)

نقاط التقييم اليسرى هي \( x_i = 0, \frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \ldots, \frac{11}{12} \)

الآن نقوم بحساب قيمة المجموع:

\( \sum_{i=0}^{11} f(x_i) \Delta x \)

\( = \sum_{i=0}^{11} \left( ( \frac{i}{12} )^2 + 2 \right) \frac{1}{12} \)

\( = \frac{1}{12} \sum_{i=0}^{11} \left( \frac{i^2}{144} + 2 \right) \)

\( = \frac{1}{12} \left( \sum_{i=0}^{11} \frac{i^2}{144} + \sum_{i=0}^{11} 2 \right) \)

\( = \frac{1}{12} \left( \frac{1}{144} \sum_{i=0}^{11} i^2 + 2 \cdot 12 \right) \)

حيث أن \( \sum_{i=0}^{11} i^2 \) هو مجموع مربعات العداد الأول 11 عدد طبيعي \( = 0^2 + 1^2 + 2^2 + \ldots + 11^2 \)

\( = 0 + 1 + 4 + \ldots + 121 \)

\( = 506 \)

إذاً:

\( \frac{1}{12} \left( \frac{506}{144} + 24 \right) \)

\( = \frac{1}{12} \left( \frac{506}{144} + \frac{3456}{144} \right) \)

\( = \frac{1}{12} \cdot \frac{3962}{144} \)

\( = \frac{3962}{1728} \)

\( \approx 2.292 \)

النتيجة التقريبية لمساحة المنطقة تحت المنحنى هي \( \approx 2.292 \) وحدة مربعة.