Question - Approximating Solutions Using Euler's Method
Solution:
讓我們使用歐拉方法（Euler's method）近似常微分方程 dy/dx = 2xy - x 的解，初值條件為 f(1) = 0，從 x = 1 開始，走兩步長同等大小的步。首先，我們需要決定步長的大小。步長是從x=1到x=0的距離除以步數。我們走兩步，所以步長 h 為：h = (1 - 0) / 2 = 0.5現在，我們可以計算第一步的近似值 y1，從點 (x0, y0) = (1, 0) 開始。來自於微分方程的斜率為：slope = dy/dx = 2xy - x = 2 * 1 * 0 - 1 = -1所以，下一個估計值 y1 為：y1 = y0 + slope * h = 0 + (-1) * 0.5 = -0.5接下來，x 的值增加步長，即 x1 = x0 + h = 1 + 0.5 = 1.5。在這點上，我們再次計算斜率：slope = 2 * x1 * y1 - x1 = 2 * 1.5 * (-0.5) - 1.5 = -3 - 1.5 = -4.5我們已經有了第二次估計值 y2：y2 = y1 + slope * h = -0.5 + (-4.5) * 0.5 = -0.5 - 2.25 = -2.75不過，我們需要的是 f(0)，也就是從 x = 1 往回兩步到達 x = 0。由於我們有了從 x=1 到 x=1.5 的第一步近似值 y1=-0.5，我們需要另一步從 x=1.5 到 x=1.0。這意味著我們需要重新設定計算，因為我們只計算了 x=1 到 x=1.5 之間的額外步驟。從 x=1 經過 0.5 步長往回走到 x=0.5，我們有：y1 = y0 - slope * h = 0 - (-1) * 0.5 = 0.5現在於 x1 = 0.5 和 y1 = 0.5，計算新的斜率：slope = 2 * x1 * y1 - x1 = 2 * 0.5 * 0.5 - 0.5 = 0.5 - 0.5 = 0接下來，再往回步長 0.5 到 x = 0：y2 = y1 + slope * h = 0.5 + 0 * 0.5 = 0.5所以，使用歐拉方法，從 x = 1 到 x = 0 兩步的近似值 f(0) 大約等於 0.5，這意味著答案不在選項中。看起來似乎在這張圖表和估計過程中出現了一些混淆。我们之所以得出完全不在选项中的数是因为问题中的实际目标是计算f(1)的值。但是，我们应该从x=1开始，在x=0.5和x=0找到函数的近似值。让我们重新计算以得到正确的 f(1)的近似值。第一步：从 (x0, y0) = (1, 0)，斜率为：slope = dy/dx = 2xy - x = 2 * 1 * 0 - 1 = -1使用步长 h = 0.5 得到 (x1, y1):y1 = y0 + slope * h = 0 + (-1) * 0.5 = -0.5x1 = x0 + h = 1 + 0.5 = 1.5第二步：使用新的点 (x1, y1) = (1.5, -0.5)，斜率为：slope = 2 * x1 * y1 - x1 = 2 * 1.5 * (-0.5) - 1.5 = -3 - 1.5 = -4.5使用步长 h = 0.5 得到 (x2, y2):y2 = y1 + slope * h = -0.5 + (-4.5) * 0.5 = -0.5 - 2.25 = -2.75x2 = x1 + h = 1.5 + 0.5 = 2因此，使用歐拉方法，從 x = 1 走兩步到 x = 2 的 f(2) 的近似值是 -2.75，選項中並沒有符合這個結果的答案。 鉴于我所采用的计算过程与该问题提供的选项不匹配，这表明我可能没有正确理解问题的意图，或者问题的表述可能存在歧义。
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