Question - Analyzing Different Formulas for Building Walls with Dice
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Solution:
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich.Milena: $$2 \ast k + (k+1)$$Kevin: $$3 \ast k + 1$$a) Wer hat wie überlegt?b) Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel?Begründe deine Antwort.#### Zur Beantwortung:a) Schauen wir uns zuerst die von Milena und Kevin beschriebenen Terme an und überlegen, wie sie auf die Mauern gekommen sind, indem wir diese mit den Bildern vergleichen.Bei Milena's Formel $$2 \ast k + (k + 1)$$ bedeutet $$k$$ die Anzahl der Säulen in der Mauer außer der letzten Säule, die insgesamt $$k + 1$$ Würfel enthält. Hier ist $$2 \ast k$$ die Anzahl der Würfel, die in den ersten $$k$$ Säulen verwendet werden, wobei jede Säule aus 2 Würfeln besteht. Dann wird ein zusätzlicher Säuleturm mit $$k + 1$$ Würfeln hinzugefügt. Milena überlegt also, dass jede Mauer aus gleichen Paaren von Säulen besteht und am Ende eine Säule steht, die um einen Würfel höher ist als die anderen.Kevin's Formel $$3 \ast k + 1$$ sieht jedes Segment der Mauer (bestehend aus einer Säule von 2 Würfeln und einer Säule von 1 Würfel) als eine Einheit. Er multipliziert die Anzahl $$k$$ dieser Segmente mit 3, weil jedes Segment insgesamt 3 Würfel hat (2 + 1), und fügt einen weiteren Würfel hinzu, der wohl die Spitze am Ende repräsentiert. Kevin geht davon aus, dass jede Mauer aus Segmenten besteht, die ein Muster von zwei auf einen Würfel haben, plus einem zusätzlichen Würfel am Ende.b) Um zu überprüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl an Würfeln liefern, können wir sie gleichsetzen und sehen, ob sie konsistent sind.Setzen wir Milena's und Kevin's Terme gleich:$$2 \ast k + (k + 1) = 3 \ast k + 1$$Vereinfachen wir diese Gleichung:$$3k + 1 = 2k + k + 1$$$$3k + 1 = 3k + 1$$Die Gleichung ist wahr und bleibt konsistent. Das bedeutet, dass beide Terme tatsächlich die gleiche Anzahl an Würfeln liefern, unabhängig davon, wie lang die Mauer ist. Beide, Milena und Kevin, haben die Anzahl der Würfel auf unterschiedliche Weise beschrieben, aber beide Beschreibungen sind korrekt und liefern für beliebige Werte von $$k$$ dasselbe Ergebnis.
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