Example Question - number of dice in walls
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Analyzing Different Approaches to Constructing Walls with Dice
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena: \(2 \times (k+4)+1\) Kevin: \(3 \times k + 7\) Milena und Kevin haben ihre Überlegungen veranschaulicht: A: Wer hat wie überlegt? B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Begründe deine Antwort. Zuerst Analyse ich die Überlegungen von Milena und Kevin. Milenas Ansatz von \(2 \times (k+4)+1\) scheint darauf basiert zu sein, dass sie die Länge der Mauer (ohne die Endwürfel) als \(k\), also die Anzahl der mittleren Würfel auf einer Seite, versteht. Dazu addiert sie auf jeder Seite vier weitere Würfel (zwei oben und zwei unten) und schließlich noch einen Würfel für das Ende der Mauer. Kevins Ansatz von \(3 \times k + 7\) hingegen scheint darauf zu beruhen, dass er die Anzahl der Würfel in der Mitte (wie Milena) als \(k\) ansieht, aber dann addiert er sieben Würfel dazu, drei Würfel für das Ende der Mauer und jeweils zwei oben und zwei unten an den Enden der Mauer. A: Wenn man die Formulierung "beliebig lange Mauern" interpretiert, bedeutet dies, dass die Anzahl der Würfel in der Mitte der Mauer (\(k\)) variieren kann, die Konstruktion der Enden aber konstant bleibt. Auf Bild A zeigt Milenas Vorgehensweise, bei der sie für jedes weitere Würfelpaar in der Mitte auch zwei zusätzliche Würfel oben draufsetzt, also insgesamt drei neue Würfel hinzugefügt werden. Dies stimmt mit ihrem Term \(2 \times (k+4)+1\) überein, wenn \(k\) die Anzahl der Würfel in der Mitte ohne die Enden ist. Auf Bild B zeigt Kevins Vorgehensweise, bei der er für jedes weitere Würfelpaar in der Mitte drei Würfel oben draufsetzt. Dies passt auch zu seinem Term \(3 \times k + 7\), wobei hier \(k\) ebenfalls für die mittleren Würfel steht und die sieben zusätzlichen Würfel die drei Endwürfel sowie die zwei Paare oben an jedem Ende repräsentieren. B: Um zu überprüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel liefern, können wir prüfen, ob sie für ein bestimmtes \(k\) das gleiche Ergebnis liefern. Nehmen wir zum Beispiel an, \(k = 2\): Milena: \(2 \times (2+4)+1 = 2 \times 6+1 = 12+1 = 13\) Kevin: \(3 \times 2 + 7 = 6 + 7 = 13\) In diesem spezifischen Fall liefern beide Terme das gleiche Ergebnis. Um aber generell zu beweisen, ob die Terme gleichwertig sind, können wir sie gleichsetzen und schauen, ob sie für alle Werte von \(k\) übereinstimmen: \(2 \times (k+4)+1 = 3 \times k + 7\) Nachdem wir die Gleichung vereinfachen: \(2k + 8 + 1 = 3k + 7\) Vereinfachen wir weiter: \(2k + 9 = 3k + 7\) Subtrahieren wir \(2k\) von beiden Seiten: \(9 = k + 7\) Subtrahieren wir 7 von beiden Seiten: \(2 = k\) Dies bedeutet, dass die Terme nur gleich sind, wenn \(k = 2\). Wenn also \(k\) einen anderen Wert als 2 hat, liefern die Terme nicht die gleiche Anzahl von Würfeln. Daher funktionieren die Terme nicht für beliebige Längen von Mauern, sondern nur für eine spezifische Länge, bei der \(k = 2\).
Analyzing Different Formulas for Building Walls with Dice
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena: \(2 \ast k + (k+1)\) Kevin: \(3 \ast k + 1\) a) Wer hat wie überlegt? b) Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Begründe deine Antwort. #### Zur Beantwortung: a) Schauen wir uns zuerst die von Milena und Kevin beschriebenen Terme an und überlegen, wie sie auf die Mauern gekommen sind, indem wir diese mit den Bildern vergleichen. Bei Milena's Formel \(2 \ast k + (k + 1)\) bedeutet \(k\) die Anzahl der Säulen in der Mauer außer der letzten Säule, die insgesamt \(k + 1\) Würfel enthält. Hier ist \(2 \ast k\) die Anzahl der Würfel, die in den ersten \(k\) Säulen verwendet werden, wobei jede Säule aus 2 Würfeln besteht. Dann wird ein zusätzlicher Säuleturm mit \(k + 1\) Würfeln hinzugefügt. Milena überlegt also, dass jede Mauer aus gleichen Paaren von Säulen besteht und am Ende eine Säule steht, die um einen Würfel höher ist als die anderen. Kevin's Formel \(3 \ast k + 1\) sieht jedes Segment der Mauer (bestehend aus einer Säule von 2 Würfeln und einer Säule von 1 Würfel) als eine Einheit. Er multipliziert die Anzahl \(k\) dieser Segmente mit 3, weil jedes Segment insgesamt 3 Würfel hat (2 + 1), und fügt einen weiteren Würfel hinzu, der wohl die Spitze am Ende repräsentiert. Kevin geht davon aus, dass jede Mauer aus Segmenten besteht, die ein Muster von zwei auf einen Würfel haben, plus einem zusätzlichen Würfel am Ende. b) Um zu überprüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl an Würfeln liefern, können wir sie gleichsetzen und sehen, ob sie konsistent sind. Setzen wir Milena's und Kevin's Terme gleich: \(2 \ast k + (k + 1) = 3 \ast k + 1\) Vereinfachen wir diese Gleichung: \(3k + 1 = 2k + k + 1\) \(3k + 1 = 3k + 1\) Die Gleichung ist wahr und bleibt konsistent. Das bedeutet, dass beide Terme tatsächlich die gleiche Anzahl an Würfeln liefern, unabhängig davon, wie lang die Mauer ist. Beide, Milena und Kevin, haben die Anzahl der Würfel auf unterschiedliche Weise beschrieben, aber beide Beschreibungen sind korrekt und liefern für beliebige Werte von \(k\) dasselbe Ergebnis.
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