Question - Analysis of Wall Structures Built with Cubes
Solution:
Die gestellte Aufgabe zeigt zwei verschiedene Strukturen von Mauern, die aus Würfeln gebaut wurden. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl der Würfel, die für jede dieser Mauern benötigt wurden, auf unterschiedliche Weise.Milena verwendet die Formel 2n + 3, während Kevin die Formel 3n + 1 anwendet, wobei n die Anzahl der sichtbaren Würfel in der obersten Reihe der Mauer ist. Aufgabe A möchte, dass wir feststellen, wer von beiden richtig liegt.Um zu überprüfen, welches Modell korrekt ist, können wir die Anzahl der Würfel in jeder sichtbaren Schicht zählen und dann sehen, wie gut jede Formel mit der tatsächlichen Anzahl der Würfel übereinstimmt.Für Mauer A:- Die oberste Reihe hat 2 Würfel (n = 2)- Die zweite Reihe hat 3 Würfel- Die unterste Reihe hat 4 WürfelInsgesamt gibt es 9 Würfel.Für Mauer B:- Die oberste Reihe hat 3 Würfel (n = 3)- Die zweite Reihe hat 4 Würfel- Die dritte Reihe hat 5 Würfel- Die unterste Reihe hat 6 WürfelInsgesamt gibt es 18 Würfel.Jetzt wenden wir die beiden Formeln an, um zu sehen, welche die richtige Anzahl von Würfeln ergibt.Milena's Formel für Mauer A: 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7Milena's Formel für Mauer B: 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9Kevin's Formel für Mauer A: 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7Kevin's Formel für Mauer B: 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10Keines von beiden ist für Mauer A und B exakt korrekt, aber Kevin's Formel passt besser, wenn man die Nähe zur tatsächlichen Anzahl von Würfeln berücksichtigt (7 statt 9 für Mauer A und 10 statt 18 für Mauer B).Aufgabe B fragt, ob beide Formeln die korrekte Anzahl an Würfeln für eine beliebige Mauer bereitstellen können. Die Antwort ist nein, denn beide Formeln gehen von einem linearen Wachstum aus (addieren einer konstanten Anzahl pro Schritt), aber der Unterschied in der Anzahl der Würfel von einer Reihe zur nächsten in den Strukturen ist ebenfalls linear (jede folgende Reihe enthält einen Würfel mehr als die vorherige). Eine Formel, die die tatsächliche Anzahl an Würfeln in solchen Mauern beschreibt, müsste quadratisch sein und nicht linear.Um die korrekte Formel zu finden, muss man bedenken, dass jede Schicht eine zunehmende Anzahl an Würfeln enthält.Die unterste Schicht hat n+2 Würfel, die zweite Schicht von unten hat n+1 Würfel, die dritte von unten n Würfel, und so weiter, bis zur obersten Schicht mit 2 Würfeln.Die korrekte Formel für die Gesamtanzahl der Würfel (x) in Bezug auf die Anzahl der Würfel in der obersten Reihe (n) würde die Summe einer arithmetischen Reihe sein: $$x = \sum_{i=2}^{n+2} i = \frac{(n+4)(n+1)}{2}$$.Wenn wir dies für Mauer A (n=2) und Mauer B (n=3) ausführen, erhalten wir:Für Mauer A: $$x = \frac{(2+4)(2+1)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$$,Für Mauer B: $$x = \frac{(3+4)(3+1)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$$.Selbst diese Formel ist nicht genau, wir haben möglicherweise einen Fehler in der Interpretation oder der Berechnung. Es scheint, dass es eine Diskrepanz in der Beschreibung oder in der visuellen Darstellung gibt, da weder die Formel von Kevin noch die von Milena noch unsere neu abgeleitete Formel die korrekte Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert (die berechnete Anzahl war 14 statt der tatsächlichen 18). Eine Überprüfung der Zählweise und des Wachstumsmusters ist erforderlich, um die korrekte Formel zu bestimmen.
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