Example Question - wall structures
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Formulas for Counting Dice in Wall Structures
Um die Frage zu lösen, betrachten wir zunächst, was Milena und Kevin gesagt haben. Milena sagt: \( n = 2 \times (k + 1) \) - wobei \( n \) die Anzahl der Würfel und \( k \) die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene ist. Kevin sagt: \( n = 3 \times k + 1 \) Wir können diese Formeln verwenden, um zu überprüfen, ob beide oder einer von ihnen immer die richtige Anzahl von Würfeln liefert. A. Wer hat wie überlegt? Wir betrachten die Struktur: 1. Für die Mauer A (mit einer sichtbaren Ebene von 3 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \) Wir können sehen, dass Milenas Formel für Mauer A nicht funktioniert, da tatsächlich 9 Würfel vorhanden sind. Kevins Formel funktioniert hier korrekt. 2. Für die Mauer B (mit einer sichtbaren Ebene von 4 Würfeln): Milena würde rechnen: \( n = 2 \times (4 + 1) = 2 \times 5 = 10 \) Kevin würde rechnen: \( n = 3 \times 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \) Auch hier können wir sehen, dass nur Kevins Formel die richtige Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert, welche 13 sind. B. Liefern beide Formeln für beliebige Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nur Kevins Formel liefert für jede beliebige Mauer die richtige Anzahl an Würfeln. Das liegt daran, dass jede Mauer ein zusätzlicher Würfel unter jedem sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene und ein weiterer Würfel am Ende hinzugefügt wird. Deshalb multipliziert Kevins Formel die Anzahl der Würfel auf der obersten Ebene mit 3 und addiert dann 1, um diesen zusätzlichen Würfel am Ende zu berücksichtigen. Um zu begründen, warum Kevins Formel für beliebige Mauern funktioniert, können wir feststellen, dass jede Mauer aus Dreiergruppen von Würfeln besteht, wobei jeder sichtbare Würfel auf der obersten Ebene zwei unsichtbare Würfel unter sich hat. Zu diesen Gruppen von drei kommt noch ein Würfel hinzu, der sich am Ende der Mauer befindet. Deshalb wird die Anzahl der sichtbaren Würfel auf der obersten Ebene mit 3 multipliziert und dann um 1 erhöht.
Analysis of Wall Structures Built with Cubes
Die gestellte Aufgabe zeigt zwei verschiedene Strukturen von Mauern, die aus Würfeln gebaut wurden. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl der Würfel, die für jede dieser Mauern benötigt wurden, auf unterschiedliche Weise. Milena verwendet die Formel 2n + 3, während Kevin die Formel 3n + 1 anwendet, wobei n die Anzahl der sichtbaren Würfel in der obersten Reihe der Mauer ist. Aufgabe A möchte, dass wir feststellen, wer von beiden richtig liegt. Um zu überprüfen, welches Modell korrekt ist, können wir die Anzahl der Würfel in jeder sichtbaren Schicht zählen und dann sehen, wie gut jede Formel mit der tatsächlichen Anzahl der Würfel übereinstimmt. Für Mauer A: - Die oberste Reihe hat 2 Würfel (n = 2) - Die zweite Reihe hat 3 Würfel - Die unterste Reihe hat 4 Würfel Insgesamt gibt es 9 Würfel. Für Mauer B: - Die oberste Reihe hat 3 Würfel (n = 3) - Die zweite Reihe hat 4 Würfel - Die dritte Reihe hat 5 Würfel - Die unterste Reihe hat 6 Würfel Insgesamt gibt es 18 Würfel. Jetzt wenden wir die beiden Formeln an, um zu sehen, welche die richtige Anzahl von Würfeln ergibt. Milena's Formel für Mauer A: 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 Milena's Formel für Mauer B: 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 Kevin's Formel für Mauer A: 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7 Kevin's Formel für Mauer B: 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10 Keines von beiden ist für Mauer A und B exakt korrekt, aber Kevin's Formel passt besser, wenn man die Nähe zur tatsächlichen Anzahl von Würfeln berücksichtigt (7 statt 9 für Mauer A und 10 statt 18 für Mauer B). Aufgabe B fragt, ob beide Formeln die korrekte Anzahl an Würfeln für eine beliebige Mauer bereitstellen können. Die Antwort ist nein, denn beide Formeln gehen von einem linearen Wachstum aus (addieren einer konstanten Anzahl pro Schritt), aber der Unterschied in der Anzahl der Würfel von einer Reihe zur nächsten in den Strukturen ist ebenfalls linear (jede folgende Reihe enthält einen Würfel mehr als die vorherige). Eine Formel, die die tatsächliche Anzahl an Würfeln in solchen Mauern beschreibt, müsste quadratisch sein und nicht linear. Um die korrekte Formel zu finden, muss man bedenken, dass jede Schicht eine zunehmende Anzahl an Würfeln enthält. Die unterste Schicht hat n+2 Würfel, die zweite Schicht von unten hat n+1 Würfel, die dritte von unten n Würfel, und so weiter, bis zur obersten Schicht mit 2 Würfeln. Die korrekte Formel für die Gesamtanzahl der Würfel (x) in Bezug auf die Anzahl der Würfel in der obersten Reihe (n) würde die Summe einer arithmetischen Reihe sein: \(x = \sum_{i=2}^{n+2} i = \frac{(n+4)(n+1)}{2}\). Wenn wir dies für Mauer A (n=2) und Mauer B (n=3) ausführen, erhalten wir: Für Mauer A: \(x = \frac{(2+4)(2+1)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9\), Für Mauer B: \(x = \frac{(3+4)(3+1)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14\). Selbst diese Formel ist nicht genau, wir haben möglicherweise einen Fehler in der Interpretation oder der Berechnung. Es scheint, dass es eine Diskrepanz in der Beschreibung oder in der visuellen Darstellung gibt, da weder die Formel von Kevin noch die von Milena noch unsere neu abgeleitete Formel die korrekte Anzahl von Würfeln für Mauer B liefert (die berechnete Anzahl war 14 statt der tatsächlichen 18). Eine Überprüfung der Zählweise und des Wachstumsmusters ist erforderlich, um die korrekte Formel zu bestimmen.
Analysis of Formulas for Calculating Cubes in Different Wall Structures
In diesem Bild sehen wir zwei verschiedene Formen von Mauern, die aus Würfeln gebaut wurden. Milena und Kevin haben Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel in Abhängigkeit von der Anzahl der sichtbaren Würfelseiten (k) zu berechnen. Milena's Formel lautet \(2 \cdot k + (k - 1)\). Kevin's Formel lautet \(3 \cdot k - 1\). Die Fragen beziehen sich auf die Richtigkeit dieser Formeln und wer von beiden die korrekte Formel hat. Lasst uns die Formeln für beide Mauern A und B analysieren. Mauer A: In Mauer A sieht man, dass \(k\) der Anzahl der sichtbaren Würfeloberseiten entspricht. Mauer A wächst horizontal, und zu jeder zusätzlichen Oberseite wird unten und oben ein Würfel hinzugefügt. Die Formel sollte also die Basis-Würfel (2 für jede sichtbare Seite) und die zusätzlichen Würfel für jede erweiterte Seite (jede Seite außer der ersten fügt einen neuen Würfel hinzu, also \(k-1\)) beinhalten. Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) gibt uns die Anzahl der Basis-Würfel (\(2 \cdot k\)) und die zusätzlichen Würfel (\(k - 1\)). Diese Formel scheint richtig zu sein. Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint nicht korrekt, da es drei Würfel für jede sichtbare Seite zählt, minus einen. Dies würde nicht die richtige Anzahl an Würfeln für Mauer A geben, weil es, wie wir festgestellt haben, zwei Würfel pro sichtbare Seite plus \(k - 1\) zusätzliche Würfel gibt. Mauer B: Bei Mauer B wächst die Mauer sowohl horizontal als auch vertikal. Für jede sichtbare Oberseite werden drei Würfel hinzugefügt - einer oben, einer in der Mitte, einer unten - außer für den letzten Würfel, da hier kein weiterer Würfel mehr hinzugefügt wird. Kevin's Formel \(3 \cdot k - 1\) scheint hier korrekt zu sein, weil genau dieser Wachstumsprozess abgebildet wird. Milena's Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) würde in diesem Fall nicht die korrekte Anzahl an Würfeln ergeben, da sie für Mauer B zu wenige Würfel berechnet. Zusammenfassung: - Milena's Formel ist korrekt für Mauer A. - Kevin's Formel ist korrekt für Mauer B. Antwort auf die Fragen: A: Wer hat wie überlegt? Milena hat die richtige Anzahl für Mauer A mit ihrer Formel \(2 \cdot k + (k - 1)\) berechnet. Kevin hat die richtige Anzahl für Mauer B mit seiner Formel \(3 \cdot k - 1\) berechnet. B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein. Milena's Formel liefert nur für Mauer A die richtige Anzahl an Würfeln, und Kevin's Formel nur für Mauer B. Keine der Formeln funktioniert für beide Mauertypen.
Analysis of Formulas for Counting Dice in Wall Structures
In der Aufgabe haben Milena und Kevin Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel für diese Mauern zu beschreiben. Milenas Formel lautet \(2 \cdot n + 4\), während Kevins Formel \(3 \cdot n + 1\) lautet. Die Frage ist, ob beide Formeln die richtige Anzahl von Würfeln für beliebige lange Mauern liefern, und du sollst deine Antwort begründen. Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Formeln für ein paar Werte von \(n\), das die Anzahl der Segmente (die Gruppen von 3 Würfeln nebeneinander) darstellt: Für \(n=1\) (das erste Segment): - Milenas Formel gibt \(2\cdot1+4 = 2+4 = 6\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot1+1 = 3+1 = 4\) Würfel. In diesem Fall liefert nur Milenas Formel die richtige Anzahl der Würfel, da jeder Segment aus 3 Würfeln und einem Würfel oben besteht, was insgesamt 4 Würfel ergibt. Für \(n=2\) (die erste zwei Segmente): - Milenas Formel gibt \(2\cdot2+4 = 4+4 = 8\) Würfel. - Kevins Formel gibt \(3\cdot2+1 = 6+1 = 7\) Würfel. Auch hier liefert Milenas Formel nicht die korrekte Anzahl der Würfel. Kevin's Formel ist korrekt, da 2 Segmente aus 6 Würfeln und einem Würfel oben bestehen, was insgesamt 7 Würfel ergibt. Aus diesen Überlegungen können wir schlussfolgern, dass beide Formeln nicht für beliebige Mauern korrekt sind. Kevins Formel ist jedoch für Mauern mit zwei oder mehr Segmenten korrekt, da sie die dreifache Anzahl der Segmente plus einen zusätzlichen Würfel für das oberste Element berücksichtigt. Milenas Formel hingegen scheint auf einem falschen Verständnis der Mauerstruktur zu beruhen, da sie mit jedem weiteren Segment um 2 Würfel erhöht anstatt 3, was nicht der tatsächlichen Struktur entspricht.
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