Example Question - zeros
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Parabola Characteristics
La imagen proporciona dos funciones cuadráticas para analizar sus características. Vamos a determinar estas características para la primera función \( f(x) = 2x^2 - 6x - 4 \). <p>Para encontrar la orientación de la parábola, observamos el coeficiente líder \(a\).</p> <p>Si \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba. Si \( a < 0 \), se abre hacia abajo.</p> <p>En nuestro caso, \( a = 2 \), por lo que la parábola se abre hacia arriba.</p> <p>El eje de simetría de una parábola se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \).</p> <p>Sustituimos \( a = 2 \), \( b = -6 \) para obtener \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} \).</p> <p>El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( (\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})) \).</p> <p>Calculamos \( f(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^2 - 6(\frac{3}{2}) - 4 \).</p> <p>El vértice es \( (\frac{3}{2}, -\frac{25}{4}) \).</p> <p>El intercepto en x son los ceros de la función, donde \( f(x) = 0 \).</p> <p>Resolvemos \( 2x^2 - 6x - 4 = 0 \) usando la fórmula cuadrática o factorización para encontrar los ceros.</p> <p>El intercepto en y es \( f(0) \), es decir, \( -4 \).</p> <p>El dominio de cualquier función cuadrática es \( (-\infty, \infty) \).</p> <p>El recorrido (rango) depende de la orientación de la parábola. Como se abre hacia arriba, el rango es \( [f(\frac{-b}{2a}), \infty) \), es decir, \( [-\frac{25}{4}, \infty) \).</p> Este es un análisis completo para la primera función. Para la segunda función, se seguiría un proceso similar.
Finding Zeros and Y-intercept of a Factored Function
The image displays a math problem related to finding the zeros of a function and the y-intercept of the function. The function is given in its factored form: f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 2) To find the zeros of the function, we need to set f(x) to 0 and solve for x. The zeros of a function are the x-values where the function crosses the x-axis (where f(x) = 0). Given that the function is already factored, the zeros are easily identified as the values that make each factor zero: x + 1 = 0 → x = -1 x - 3 = 0 → x = 3 x + 2 = 0 → x = -2 Thus, the zeros of the function are x = -1, 3, and -2. To find the y-intercept of the function, we need to find the value of f(x) when x = 0. The y-intercept is the point where the graph of the function crosses the y-axis (the value of f(0)). f(0) = (0 + 1)(0 - 3)(0 + 2) = (1)(-3)(2) = -6 Therefore, the y-intercept of the function is located at (0, -6). So, the correct answers to fill in the blanks would be: The zeros of the function f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 2) are -1, 3, and -2, and the y-intercept of the function is located at (0, -6).
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