Example Question - vertical asymptotes
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Function Domain, Asymptotes, and Behavior
<p>The domain of \( f(x) \) is all real numbers except where the denominator equals zero. Set the denominator equal to zero and solve for x:</p> <p>\( x^2 - 1 = 0 \)</p> <p>\( (x + 1)(x - 1) = 0 \)</p> <p>\( x = 1 \) or \( x = -1 \)</p> <p>So the domain is \( x \in \mathbb{R} \), \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).</p> <p>To find vertical asymptotes, look at the points where the function is undefined, which are at \( x = 1 \) and \( x = -1 \).</p> <p>To find the horizontal asymptote, examine the degrees of the numerator and denominator:</p> <p>The degree of the numerator (2) is equal to the degree of the denominator (2). The horizontal asymptote is the ratio of the leading coefficients:</p> <p>\( y = \frac{2}{1} = 2 \)</p> <p>Analyze the behavior around the vertical asymptotes:</p> <p>As \( x \) approaches \( 1 \) from the left, \( f(x) \) goes to \( -\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( 1 \) from the right, \( f(x) \) goes to \( +\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( -1 \) from the left, \( f(x) \) goes to \( +\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( -1 \) from the right, \( f(x) \) goes to \( -\infty \).</p> <p>The function approaches the horizontal asymptote \( y = 2 \) as \( x \) goes to \( \pm\infty \).</p>
Analysis of Functions and Graphs
Trong bảng biến thiên, ta có thể thấy rằng hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và đồ thị tiến đến vô cực khi x tiến đến 1 từ hai phía. Đồ thị cũng có hai điểm cực trị là một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Hơn nữa, đồ thị hội tụ về các giá trị ngang không xác định khi x tiến đến -1 từ hai phía. Câu hỏi đầu tiên hỏi về tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số \( y = f(x) \). Dựa vào bảng biến thiên: - Ta có một tiệm cận đứng là x = 1 vì đồ thị tiến đến vô cực khi x tiến đến 1. - Ta có một tiệm cận ngang khi x tiến đến -1, nhưng không thể xác định nếu đó là tiệm cận ngang hoặc tiếp cận đường cong theo cách đó mà không có thêm thông tin. Vậy tổng số tiệm cận là ít nhất 1 và có thể là 2 nếu coi đường tiệm cận khi x tiến đến -1 là tiệm cận ngang. Câu hỏi thứ hai hỏi về hàm số nào dưới đây có thể có đồ thị tạo thành các đường cong trong hình bên? Các hàm số đề xuất là: A. \( y = \frac{2x-1}{x+1} \) B. \( y = \frac{-2x+1}{x+1} \) Ta có thể loại trừ hàm số A vì nó có tiệm cận ngang y = 2 khi x tiến ra vô cực, không phù hợp với đồ thị trong hình bên. Hàm số B, \( y = \frac{-2x+1}{x+1} \), có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = -2 khi x tiến ra vô cực. Hàm số này cũng có thể cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 khi x = 0, điều này không hoàn toàn phù hợp với đồ thị cho trước vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tuy nhiên, không có thông tin đủ để xác định chắc chắn vì trục tung trong hình vẽ không hiển thị rõ tung độ tại điểm cắt của đồ thị, cũng như không có thông tin đầy đủ về hành vi của đồ thị khi x tiến đến vô cực. Cần có thêm thông tin để xác định chính xác hàm số nào phản ánh đồ thị trong hình bên một cách chính xác nhất. Như vậy, dựa trên thông tin có sẵn, ta không có đủ dữ liệu để đưa ra câu trả lời chắc chắn cho cả hai câu hỏi.
Equation of Rational Function with Given Conditions
To write an equation for a rational function that satisfies the given conditions, we can follow these steps: 1. Vertical asymptotes at \( x = 5 \) and \( x = -6 \) are given by factors in the denominator that become zero at these x-values. Thus, the denominator will be \( (x - 5)(x + 6) \). 2. X-intercepts at \( x = -5 \) and \( x = 1 \) indicate where the numerator of the function becomes zero. Thus, the numerator will be a product of factors that become zero at these x-values, which gives us \( (x + 5)(x - 1) \). 3. The y-intercept is the point where the function crosses the y-axis, which happens when \( x = 0 \). To get a y-intercept at 6, we need the constant term of the numerator (when \( x = 0 \)) to give us a y-value of 6. Since the denominator at \( x = 0 \) will be \( (0 - 5)(0 + 6) = -30 \), to obtain a y-intercept of 6, the numerator must evaluate to \( -30 * 6 \) when \( x = 0 \). Therefore, we can multiply the numerator by \( -6 \) to get the desired y-intercept. Putting it all together, the rational function is: \( y = \frac{-6(x + 5)(x - 1)}{(x - 5)(x + 6)} \) This function satisfies the given conditions: - The vertical asymptotes are at \( x = 5 \) and \( x = -6 \). - The x-intercepts are at \( x = -5 \) and \( x = 1 \). - The y-intercept is at \( y = 6 \) because when \( x = 0 \), \( y = \frac{-6(0 + 5)(0 - 1)}{(0 - 5)(0 + 6)} = \frac{30}{-30} = -1 \cdot -6 = 6 \).
Finding a Rational Function Given Vertical, X-intercepts, and Y-intercept
To write an equation for a rational function that meets the given requirements, you need to consider the vertical asymptotes, x-intercepts, and y-intercept provided. Vertical asymptotes occur where the denominator of the rational function is zero. Thus, for vertical asymptotes at \( x = -6 \) and \( x = 3 \), the factors in the denominator will be \( (x + 6) \) and \( (x - 3) \), since setting either of these equal to zero gives the respective values of \( x \) for the asymptotes. X-intercepts occur where the numerator is zero. Given the x-intercepts at \( x = -3 \) and \( x = -1 \), the factors in the numerator will be \( (x + 3) \) and \( (x + 1) \), since setting these factors equal to zero will yield the x-intercepts. Combining these, we get a function of the form: \[ f(x) = \frac{a(x + 3)(x + 1)}{(x + 6)(x - 3)} \] where \( a \) is a constant we need to determine using the y-intercept. The y-intercept is found by setting \( x = 0 \) in the function. It is given that the y-intercept is 10; thus, we solve for \( a \) by substituting \( x = 0 \) into the equation to get \( f(0) = 10 \): \[ 10 = \frac{a(0 + 3)(0 + 1)}{(0 + 6)(0 - 3)} \] \[ 10 = \frac{3a}{-18} \] Now solve for \( a \): \[ a = \frac{10 \times (-18)}{3} = -60 \] Insert \( a \) back into the original equation to get the complete function: \[ f(x) = \frac{-60(x + 3)(x + 1)}{(x + 6)(x - 3)} \]
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com