Properties of Parallelograms and Vectors
1) لتحديد متجهين متساويين مع المتجه \(\overrightarrow{AB}\), يمكننا استخدام خواص المتجهات في الشكل الهندسي المعطى. نظراً لأن \(EF\) هو صورة \(DC\) بالنسبة لمحور التماثل \(A\), فإن طول \(EF\) يساوي طول \(DC\) وكذلك الاتجاه بسبب التناظر في المحور.
وبالتالي، فإن المتجه \(\overrightarrow{EF}\) متساوي مع المتجه \(\overrightarrow{DC}\) (وهو بدوره متساوي مع المتجه \(\overrightarrow{AB}\) لأنهما ضلعان متقابلان في المتوازي الأضلاع).
إذن، فإن اثنين من المتجهات المتساوية مع المتجه \(\overrightarrow{AB}\) هما المتجه \(\overrightarrow{EF}\) والمتجه \(\overrightarrow{DC}\).
2) لإثبات أن الرباعي \(EFCB\) هو متوازي الأضلاع،
يُلاحظ أن \(EF\) هو صورة \(DC\) بالنسبة لمحور التماثل \(A\), ولذلك \(EF \parallel DC\) و \(EF = DC\).
كذلك \(FB\) هو صورة \(DA\) بالنسبة لمحور التماثل \(A\), إذاً \(FB \parallel DA\) و \(FB = DA\).
ومنذ أن \(FB = DA\) و \(EF = DC\) وكلاهما موازي للضلع الآخر في \(ABCD\) (الذي هو متوازي أضلاع)، يمكن القول إن:
\(EF \parallel CB\) و \(EF = CB\) (لأن \(CB = DC\)) و \(FB \parallel EC\) و \(FB = EC\) (لأن \(DA = EC\)).
وهكذا، نستنتج أن كل زوج من أضلاع \(EFCB\) المتقابلة متساوية ومتوازية، وبالتالي يشكل \(EFCB\) متوازي أضلاع.
3) لتحديد متجهين متساويين مع المتجه \(\overrightarrow{BC}\),
متوازي الأضلاع \(ABCD\) يعني أن المتجهين \(\overrightarrow{AD}\) و \(\overrightarrow{BC}\) متساويان لأنهما ضلعان متقابلان.
بالإضافة إلى ذلك، الرباعي \(EFCB\) هو أيضًا متوازي أضلاع، كما أثبتنا في الخطوة الثانية، ولذلك المتجهين \(\overrightarrow{EF}\) و \(\overrightarrow{BC}\) متساويان أيضًا.
وبالتالي، فإن المتجه \(\overrightarrow{AD}\) والمتجه \(\overrightarrow{EF}\) هما متجهين متساويين مع المتجه \(\overrightarrow{BC}\).
