Hypothesis Testing for Population Mean with Two-Tailed Test
Vamos a resolver el problema utilizando una prueba de hipótesis para la media. Queremos probar si la media poblacional \(\mu\) es de 2 cm frente a una alternativa de otro valor, con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\). La hipótesis nula es \(H_0: \mu = 2\) y la hipótesis alternativa es \(H_1: \mu \neq 2\).
Para calcular el estadístico de prueba z, utilizamos la fórmula:
\[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]
Donde:
- \(\bar{x}\) es la media muestral, que es de 1.96 según el problema.
- \(\mu_0\) es la media poblacional bajo la hipótesis nula, que es 2.
- \(\sigma\) es la desviación estándar de la población, que es de 0.06.
- \(n\) es el tamaño de la muestra, que es 6.
Sustituimos los valores conocidos:
\[ z = \frac{1.96 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.04}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \]
Calculamos el denominador:
\[ \frac{0.06}{\sqrt{6}} = \frac{0.06}{2.4495} = 0.0245 \]
Ahora calculamos el valor de \(z\):
\[ z = \frac{-0.04}{0.0245} = -1.63 \]
Así que el valor del estadístico de prueba \(z\) es aproximadamente -1.63. Buscando en la tabla de distribución normal estándar o utilizando un software estadístico, puedes determinar si este valor de z es menor que el valor crítico para un nivel de significancia de 0.05 (dos colas). En este caso, el valor crítico absoluto para \(\alpha = 0.05\) en dos colas es aproximadamente 1.96.
Como nuestro valor observado de |-1.63| no es mayor que 1.96, no rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que no hay suficiente evidencia para decir que la media es diferente de 2 cm al nivel de significancia del 0.05.
La respuesta correcta a la pregunta planteada en la imagen, sobre el valor del estadístico de prueba, es:
B. -1.63
