Finding Tangent of an Angle in the Fourth Quadrant
Para resolver esta pregunta, primero debemos entender la información que se nos da:
Nos dicen que \( t \) es un ángulo en el cuarto cuadrante y \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \).
Para hallar la tangente de \( t \), es decir, \( \tan(t) \), necesitamos la relación entre el seno y el coseno del ángulo \( t \), porque \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \).
Ya nos dan el valor de \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \), que es el valor opuesto sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo imaginario. Para encontrar el valor de \( \cos(t) \), necesitamos determinar el valor adyacente a través del teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( c \) es la hipotenusa y \( a \) y \( b \) son los catetos.
Sabiendo que \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \), podemos deducir que:
\[ (-12)^2 + b^2 = 13^2 \]
\[ 144 + b^2 = 169 \]
\[ b^2 = 169 - 144 \]
\[ b^2 = 25 \]
\[ b = \pm5 \]
Dado que el coseno de un ángulo en el cuarto cuadrante es positivo, tomaos la raíz positiva:
\[ \cos(t) = \frac{5}{13} \]
Ahora, podemos encontrar \( \tan(t) \) como:
\[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \]
\[ \tan(t) = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \]
\[ \tan(t) = \frac{-12}{5} \]
Por lo tanto, \( \tan(t) = -\frac{12}{5} \).
