Example Question - tangent line equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Tangent Line Equation Using Calculus
\begin{align*} g(x) &= \frac{16}{x} - 4\sqrt{x}\\ g'(x) &= -\frac{16}{x^2} - \frac{4}{2\sqrt{x}}\\ g'(x) &= -\frac{16}{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}}\\ g'(-4) &= -\frac{16}{(-4)^2} - \frac{2}{\sqrt{-4}}\\ g'(-4) &= -\frac{16}{16} - \frac{2}{2i}\\ g'(-4) &= -1 - \frac{1}{i}\\ g'(-4) &= -1 + i\\ g(-4) &= \frac{16}{-4} - 4\sqrt{-4}\\ g(-4) &= -4 - 4 \cdot 2i\\ g(-4) &= -4 - 8i\\ \text{Point-slope form: } y - y_1 &= m(x - x_1)\\ y - (-4 - 8i) &= (-1 + i)(x - (-4))\\ y + 4 + 8i &= (-1 + i)(x + 4)\\ y &= (-1 + i)x - 4 + 1 - 4i - 8i\\ y &= (-1 + i)x - 3 - 12i\\ \text{Tangent line equation: } y &= (-1 + i)x - 3 - 12i \end{align*}
Finding Tangent Line Equation of a Circle
Câu hỏi trong hình là một câu hỏi về việc tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Đường tròn có phương trình là \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\) và tiếp điểm là \(M(5;3)\). Đầu tiên, chúng ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn. Tâm của đường tròn là \(O(2;-1)\) và bán kính \(R\) là căn bậc hai của 25, \(R = 5\). Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M(5;3)\). Đường kính qua tiếp điểm M và tâm O là pháp tuyến của tiếp tuyến tại M. Hệ số góc của đường kính này sẽ là đối số của hệ số góc của tiếp tuyến. Đường kính có hướng từ M đến O có hệ số góc: \[ k_{MO} = \frac{y_O - y_M}{x_O - x_M} = \frac{-1 - 3}{2 - 5} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ký hiệu là \(k_{TM}\), là đối của hệ số góc đường kính, do đó: \[ k_{TM} = -\frac{1}{k_{MO}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \] Bây giờ, sử dụng hệ số góc \(k_{TM}\) và tiếp điểm M(5;3), chúng ta có thể viết phương trình của tiếp tuyến như sau: \[ y - y_M = k_{TM}(x - x_M) \] \[ y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 5) \] Ta có thể biến đổi phương trình này để có được một phương trình theo định dạng chuẩn: \[ y + \frac{3}{4}x = 3 + \frac{15}{4} \] \[ y + \frac{3}{4}x = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4} \] \[ y = - \frac{3}{4}x + \frac{27}{4} \] \[ 4y = -3x + 27 \] \[ 3x + 4y - 27 = 0 \] Như vậy, phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y - 27 = 0\), do đó đáp án đúng là D.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com