Solving a System of Quadratic Equations
Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng phương pháp giải hệ phương trình bậc hai. Hệ phương trình đã cho là:
\[\begin{cases}
u + v = 18\\
uv = 72
\end{cases}\]
Đặt \(x = u\) và \(y = v\), ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases}
x + y = 18\\
xy = 72
\end{cases}\]
Đây là một hệ phương trình đối xứng. Ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Nếu \(x\) và \(y\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai, thì phương trình đó có dạng: \(t^2 - (x+y)t + xy = 0\).
Áp dụng vào hệ, ta được phương trình:
\(t^2 - 18t + 72 = 0\)
Giải phương trình này, ta có thể tìm ra \(t\) là \(x\) hoặc \(y\):
\(t^2 - 18t + 72 = 0\)
\((t - 6)(t - 12) = 0\)
Do đó \(t = 6\) hoặc \(t = 12\).
Vậy hai số \(u\) và \(v\) cần tìm là 6 và 12 (hoặc 12 và 6, vì hệ phương trình là đối xứng, thứ tự của \(u\) và \(v\) không quan trọng).
