Solving a Quadratic Equation Step by Step
Claro, resolvamos la ecuación paso a paso.
La ecuación en la imagen es:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} (6x - 6) = -2 \]
Primero, podemos simplificar la expresión eliminando el paréntesis distribuyendo \(\frac{1}{2}\) en los términos dentro del paréntesis:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot 6x - \frac{1}{2} \cdot 6 = -2 \]
Esto se simplifica a:
\[ \frac{1}{x} + 3x - 3 = -2 \]
Ahora, queremos tener todos los términos en un lado de la ecuación y todo en términos de \(x\). Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación:
\[ \frac{1}{x} + 3x = 1 \]
Para combinar los términos con \(x\), podemos multiplicar cada término por \(x\) para eliminar el denominador en el primer término:
\[ 1 + 3x^2 = x \]
Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo para obtener un polinomio igualado a cero:
\[ 3x^2 - x + 1 = 0 \]
Esta es una ecuación cuadrática y podemos resolverla usando la fórmula cuadrática:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Donde \(a = 3\), \(b = -1\) y \(c = 1\). Sustituimos los valores en la fórmula:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{6} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{6} \]
Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales. Por lo tanto, \(x\) tendría dos soluciones complejas debido al discriminante negativo (\(-11\)). Estas soluciones están en la forma de números complejos.
