Verifying mathematical statements about integers
Vamos a revisar cada una de las afirmaciones para determinar cuáles son verdaderas.
**I)** \((p^2 - 1)\) es el entero antecesor del cuadrado de \(p\).
Para verificar esto, consideremos el cuadrado de \(p\): \(p^2\). El entero antecesor de \(p^2\) sería \(p^2 - 1\), lo cual coincide exactamente con la expresión dada. Por lo tanto, la afirmación I es verdadera.
**II)** \( \frac{p}{(p - 1)} \) es el entero antecesor de \(p\).
Para verificar esta afirmación, identifiquemos el entero antecesor de \(p\) que sería \(p - 1\), y ahora tratemos de simplificar la expresión dada: \(\frac{p}{(p - 1)}\). Esta expresión no se puede simplificar más y tampoco es equivalente a \(p - 1\), a menos que \(p\) sea igual a \(p - 1\), lo cual no es cierto para enteros generales. Esto significa que la afirmación II no es verdadera en general.
**III)** \( (p + 1)^2 \) es el cuadrado del entero sucesor de \(p\).
Para verificar esta afirmación, identifiquemos el entero sucesor de \(p\), que es \(p + 1\). El cuadrado de este sucesor sería \((p + 1)^2\), que coincide exactamente con la expresión dada. Por lo tanto, la afirmación III es verdadera.
Las afirmaciones verdaderas son la **I** y la **III**, que corresponden a la opción E) I, y III.
