Solving a System of Linear Equations
Dựa vào phương trình đã cho trong hình ảnh, chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau để tìm giá trị của \(x\) và \(y\):
\[
\begin{cases}
x + y = 4 \\
\frac{2}{3}x - \frac{1}{5}y = 2
\end{cases}
\]
Đầu tiên, chúng ta quy đồng mẫu số để dễ dàng cộng và trừ các phương trình:
Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(15\) (là bội số chung nhỏ nhất của \(3\) và \(5\)) để loại bỏ mẫu số, ta được:
\[
15 \left( \frac{2}{3}x - \frac{1}{5}y \right) = 15 \cdot 2
\]
\[
10x - 3y = 30
\]
Bây giờ, ta có hai phương trình tuyến tính:
\[
\begin{cases}
x + y = 4 \\
10x - 3y = 30
\end{cases}
\]
Ta nhân phương trình đầu tiên với \(10\) (để dễ dàng trừ phương trình sau):
\[
\begin{cases}
10x + 10y = 40 \\
10x - 3y = 30
\end{cases}
\]
Tiếp theo, trừ phương trình đầu tiên cho phương trình thứ hai:
\[
(10x + 10y) - (10x - 3y) = 40 - 30
\]
\[
10y + 3y = 10
\]
\[
13y = 10
\]
Từ đó, ta giải ra \(y\):
\[
y = \frac{10}{13}
\]
Tiếp theo, sử dụng giá trị vừa tìm được của \(y\) để giải \(x\) từ một trong hai phương trình ban đầu. Ta chọn phương trình \(x + y = 4\) và thay \(y\) vào đó:
\[
x + \frac{10}{13} = 4
\]
Giải ra \(x\):
\[
x = 4 - \frac{10}{13}
\]
Tiến hành quy đồng mẫu số:
\[
x = \frac{52}{13} - \frac{10}{13}
\]
\[
x = \frac{42}{13}
\]
Vậy ta có \(x = \frac{42}{13}\) và \(y = \frac{10}{13}\).
