Example Question - sine and cosine functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Distance Between Signals
El problema propuesto es un ejercicio en trigonometría que involucra el uso de las funciones seno y coseno para determinar distancias en triángulos rectángulos. La persona se encuentra a 2100 metros sobre el nivel del suelo y observa dos señales formando ángulos de 90°, 60° y 30° con la vertical. Para resolver este problema, podemos dividirlo en dos triángulos rectángulos separados: 1. El triángulo que forma un ángulo de 60° con la vertical llegando hasta la señal más alta. 2. El triángulo que forma un ángulo de 30° con la vertical llegando hasta la señal más baja. Primero, resolvemos para el triángulo de 60°. Si denotamos la distancia desde la plataforma de observación hasta la señal más alta como D1, entonces podemos usar el coseno de 60°, ya que el coseno de un ángulo es igual al lado adyacente sobre la hipotenusa: cos(60°) = D1 / 2100 m D1 = cos(60°) * 2100 m D1 = 0.5 * 2100 m D1 = 1050 m Ahora, resolvemos para el triángulo de 30°. Si denotamos la distancia desde la plataforma de observación hasta la señal más baja como D2, entonces podemos usar el coseno de 30°: cos(30°) = D2 / 2100 m D2 = cos(30°) * 2100 m D2 = (√3/2) * 2100 m D2 ≈ 0.866 * 2100 m D2 ≈ 1818.6 m La distancia entre las dos señales será entonces: Distancia = D2 - D1 Distancia ≈ 1818.6 m - 1050 m Distancia ≈ 768.6 m Por lo tanto, la distancia entre las dos señales es aproximadamente 768.6 metros.
Trigonometric Ratios in a Right-Angled Triangle
The image shows a right-angled triangle, ΔABC, with angle A = 60°, angle B = 90°, and the hypotenuse AC = 20 ft. We are required to solve a series of questions related to this triangle. a) Using trigonometric ratios to find the perpendicular (opposite side to angle A, which is BC) and base (adjacent side to angle A, which is AB): We use the sine and cosine functions, which are defined as follows for a right-angled triangle: - Sine of an angle is the ratio of the length of the opposite side to the hypotenuse. - Cosine of an angle is the ratio of the length of the adjacent side to the hypotenuse. For angle A, sin(60°) = opposite/hypotenuse => sin(60°) = BC/AC BC = AC * sin(60°) BC = 20 * (√3/2) (since sin(60°) is √3/2) BC = 10√3 ft For the base (AB), cos(60°) = adjacent/hypotenuse => cos(60°) = AB/AC AB = AC * cos(60°) AB = 20 * (1/2) (since cos(60°) is 1/2) AB = 10 ft b) Using the perpendicular (BC) and base (AB) obtained above, find the value of tan(60°): Tangent of an angle is the ratio of the length of the opposite side to the adjacent side. tan(60°) = opposite/adjacent tan(60°) = BC/AB tan(60°) = (10√3)/10 tan(60°) = √3 c) Find the values of Sin C and Cos C: In a right triangle, the sine of one non-right angle is the cosine of the other, and vice versa. Since angle C is the 90-angle B (90° - 60° = 30°), we can find the sine and cosine of angle C by using their known values at 30°. sin(C) = sin(30°) = 1/2 cos(C) = cos(30°) = √3/2 d) Using the values of Sin C and Cos C, prove that Sin² C + Cos² C = 1: This is a well-known trigonometric identity known as the Pythagorean identity. Now let's substitute the values obtained for Sin C and Cos C: Sin² C + Cos² C = (1/2)² + (√3/2)² Sin² C + Cos² C = 1/4 + 3/4 Sin² C + Cos² C = 4/4 Sin² C + Cos² C = 1 This proves the Pythagorean identity for angle C.
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